Ώρα εφαπτομένης 68

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 68

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 09, 2020 12:15 pm

Ώρα εφαπτομένης  67.png
Ώρα εφαπτομένης 67.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , η κάθετη πλευρά AB=c είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Σχεδιάζω την διάμεσο BM και τμήματα : AS\perp BC και AT \perp BM . Υπολογίστε την \tan\hat{C} ,

κατά την στιγμή που το τμήμα ST μεγιστοποιείται .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 68

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 09, 2020 1:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 12:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 67.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , η κάθετη πλευρά AB=c είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Σχεδιάζω την διάμεσο BM και τμήματα : AS\perp BC και AT \perp BM . Υπολογίστε την \tan\hat{C} ,

κατά την στιγμή που το τμήμα ST μεγιστοποιείται .
Ωρα εφαπτομένης 68α.png
Ωρα εφαπτομένης 68α.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Έχω μεγιστοποίηση του ST όταν ST//AB ( λήμμα θα δειχθεί αργότερα)

Τότε αν SN = k θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  BS = 2k,\,\,NC = 3k \hfill \\ 
  {c^2} = BS \cdot BC = 12{k^2} \hfill \\ 
  b = 36{k^2} - 12{k^2} = 24{k^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άρα \boxed{{{\tan }^2}\theta  = \frac{1}{2} \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}

Λήμμα

Ωρα εφαπτομένης 68α_Λήμμα.png
Ωρα εφαπτομένης 68α_Λήμμα.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
α) Στο σχήμα το S είναι προς τη μεριά του N. Φέρνω παράλληλη, προς την AB από το T που τέμνει την υποτείνουσα στο F κι έστω TF = d.

Επειδή \widehat {FST} > 90^\circ θα είναι x \leqslant d άρα το x γίνεται μέγιστο όταν F \equiv S.

β) Αν το S είναι προς τη μεριά του B εργάζομαι όμοια αλλά τώρα φέρνω από S παράλληλη στην AB.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 68

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 09, 2020 4:57 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 12:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 67.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , η κάθετη πλευρά AB=c είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Σχεδιάζω την διάμεσο BM και τμήματα : AS\perp BC και AT \perp BM . Υπολογίστε την \tan\hat{C} ,

κατά την στιγμή που το τμήμα ST μεγιστοποιείται .
Αποφεύγω τις πράξεις ρουτίνας. Με τις συντεταγμένες του σχήματος είναι:
Ώρα εφαπτομένης.68.png
Ώρα εφαπτομένης.68.png (13.05 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AS:y = \dfrac{{cx}}{b}\\ 
\\ 
BC:y =  - \dfrac{{bc}}{x} + c 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\frac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}},\frac{{{b^2}c}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right)} Ομοίως βρίσκω \boxed{T\left( {\frac{{2b{c^2}}}{{{b^2} + 4{c^2}}},\frac{{{b^2}c}}{{{b^2} + 4{c^2}}}} \right)}

\displaystyle S{T^2} = ... = \frac{{{b^2}{c^4}}}{{{b^4} + 5{b^2}{c^2} + 4{c^4}}}. Με παραγώγους βρίσκω \boxed{S{T_{\max }} = \frac{c}{3}} όταν b = c\sqrt 2  \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης