Ώρα εφαπτομένης 68

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 67.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η κάθετη πλευρά AB=c

είναι σταθερή , ενώ η

μεταβάλλεται .

Σχεδιάζω την διάμεσο

και τμήματα : $AS\perp BC$ και $AT \perp BM$ . Υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ ,

κατά την στιγμή που το τμήμα

μεγιστοποιείται .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 12:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 67.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η κάθετη πλευρά είναι σταθερή , ενώ η μεταβάλλεται .

Σχεδιάζω την διάμεσο και τμήματα : $AS\perp BC$ και $AT \perp BM$ . Υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ ,

κατά την στιγμή που το τμήμα μεγιστοποιείται .

: Ωρα εφαπτομένης 68α.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Έχω μεγιστοποίηση του

όταν

( λήμμα θα δειχθεί αργότερα)

Τότε αν SN = k

θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} BS = 2k,\,\,NC = 3k \hfill \\ {c^2} = BS \cdot BC = 12{k^2} \hfill \\ b = 36{k^2} - 12{k^2} = 24{k^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα $\boxed{{{\tan }^2}\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \tan \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

Λήμμα

: Ωρα εφαπτομένης 68α_Λήμμα.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

α) Στο σχήμα το

είναι προς τη μεριά του

. Φέρνω παράλληλη, προς την

από το

που τέμνει την υποτείνουσα στο

κι έστω

.

Επειδή $\widehat {FST} > 90^\circ$ θα είναι $x \leqslant d$ άρα το

γίνεται μέγιστο όταν $F \equiv S$ .

β) Αν το

είναι προς τη μεριά του

εργάζομαι όμοια αλλά τώρα φέρνω από

παράλληλη στην

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 12:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 67.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η κάθετη πλευρά είναι σταθερή , ενώ η μεταβάλλεται .

Σχεδιάζω την διάμεσο και τμήματα : $AS\perp BC$ και $AT \perp BM$ . Υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ ,

κατά την στιγμή που το τμήμα μεγιστοποιείται .

Αποφεύγω τις πράξεις ρουτίνας. Με τις συντεταγμένες του σχήματος είναι:

: Ώρα εφαπτομένης.68.png (13.05 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AS:y = \dfrac{{cx}}{b}\\ \\ BC:y = - \dfrac{{bc}}{x} + c \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{S\left( {\frac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}},\frac{{{b^2}c}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right)}$ Ομοίως βρίσκω $\boxed{T\left( {\frac{{2b{c^2}}}{{{b^2} + 4{c^2}}},\frac{{{b^2}c}}{{{b^2} + 4{c^2}}}} \right)}$

$\displaystyle S{T^2} = ... = \frac{{{b^2}{c^4}}}{{{b^4} + 5{b^2}{c^2} + 4{c^4}}}.$ Με παραγώγους βρίσκω $\boxed{S{T_{\max }} = \frac{c}{3}}$ όταν $b = c\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

Ώρα εφαπτομένης 68

Ώρα εφαπτομένης 68

Re: Ώρα εφαπτομένης 68

Re: Ώρα εφαπτομένης 68

Μέλη σε σύνδεση