mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 06, 2020 7:16 pm**

: Μέγιστο εμβαδόν 30.png (10.64 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Πάνω στην μεσοκάθετο του τμήματος AB=a , (M

μέσο ) , κινείται σημείο

.

Με διάμετρο την

γράφουμε κύκλο προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα

και

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ABCD

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 06, 2020 9:10 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Θα έλεγα ότι μοιάζει κάπως με την άσκηση 12 σελ. 153, του σχολικού βοβλίου Γ΄ Λυκείου. Εδώ, επειδή έχουμε εφαπτόμενες, είναι DA = BC = a/2

.

: 06-12-2020 Γεωμετρία.jpg (25.54 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Στο σχήμα είναι $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{DK}}{{AD}} \Leftrightarrow DK = \frac{{a\eta \mu \varphi }}{2} = BL,\;\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{AK}}{{AD}} \Leftrightarrow AK = \frac{{a\sigma \upsilon \nu \varphi }}{2}$

$\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{AB + DC}}{2} \cdot AK = \frac{{{a^2}\left( {2 + \eta \mu \varphi } \right)\sigma \upsilon \nu \varphi }}{4}$ με $\displaystyle 0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \left( {2 + \eta \mu x} \right)\sigma \upsilon \nu x,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ έχει παράγωγο

$\displaystyle f'\left( x \right) = - 2\eta {\mu ^2}x - 2\eta \mu x + 1$ έχει δεκτή ρίζα $\displaystyle \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ .

Οπότε $\displaystyle {\left( {ABCD} \right)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{8} \cdot \left( {3 + \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 07, 2020 10:22 am**

Καλημέρα!

Αν DC=x,

τότε $\displaystyle DK = LC = \frac{{x - a}}{2}$ και $\displaystyle AK = BL = \frac{{\sqrt {2ax - {x^2}} }}{2}.$

: Μέγιστο εμβαδόν.30.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

Άρα, $\displaystyle (ABCD) = f(x) = \frac{{a + x}}{4}\sqrt {2ax - {x^2}}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{{a^2} + 2ax - 2{x^2}}}{{4\sqrt {2ax - {x^2}} }}, 0<x<2a,$

απ' όπου προκύπτει ότι η έχουμε για $\boxed{x = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}$ μέγιστη τιμή $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{8}\sqrt {9 + 6\sqrt 3 }}$

mathematica.gr

Μέγιστο εμβαδόν 30

Μέγιστο εμβαδόν 30

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30