Μέγιστο εμβαδόν 30

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12736
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 30

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 06, 2020 7:16 pm

Μέγιστο εμβαδόν  30.png
Μέγιστο εμβαδόν 30.png (10.64 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Πάνω στην μεσοκάθετο του τμήματος AB=a , (M μέσο ) , κινείται σημείο S .

Με διάμετρο την MS γράφουμε κύκλο προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα AD και BC . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ABCD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4916
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 06, 2020 9:10 pm

Καλησπέρα σε όλους. Θα έλεγα ότι μοιάζει κάπως με την άσκηση 12 σελ. 153, του σχολικού βοβλίου Γ΄ Λυκείου. Εδώ, επειδή έχουμε εφαπτόμενες, είναι DA = BC = a/2.


06-12-2020 Γεωμετρία.jpg
06-12-2020 Γεωμετρία.jpg (25.54 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές


Στο σχήμα είναι  \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{{DK}}{{AD}} \Leftrightarrow DK = \frac{{a\eta \mu \varphi }}{2} = BL,\;\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{AK}}{{AD}} \Leftrightarrow AK = \frac{{a\sigma \upsilon \nu \varphi }}{2}

 \displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{AB + DC}}{2} \cdot AK = \frac{{{a^2}\left( {2 + \eta \mu \varphi } \right)\sigma \upsilon \nu \varphi }}{4} με  \displaystyle 0 < \varphi  < \frac{\pi }{2} .

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \left( {2 + \eta \mu x} \right)\sigma \upsilon \nu x,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) έχει παράγωγο

 \displaystyle f'\left( x \right) =  - 2\eta {\mu ^2}x - 2\eta \mu x + 1 έχει δεκτή ρίζα  \displaystyle \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} .

Οπότε  \displaystyle {\left( {ABCD} \right)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{8} \cdot \left( {3 + \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 07, 2020 10:22 am

Καλημέρα!

Αν DC=x, τότε \displaystyle DK = LC = \frac{{x - a}}{2} και \displaystyle AK = BL = \frac{{\sqrt {2ax - {x^2}} }}{2}.
Μέγιστο εμβαδόν.30.png
Μέγιστο εμβαδόν.30.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Άρα, \displaystyle (ABCD) = f(x) = \frac{{a + x}}{4}\sqrt {2ax - {x^2}} με \displaystyle f'(x) = \frac{{{a^2} + 2ax - 2{x^2}}}{{4\sqrt {2ax - {x^2}} }}, 0<x<2a,

απ' όπου προκύπτει ότι η έχουμε για \boxed{x = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)} μέγιστη τιμή \boxed{{(ABCD)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{8}\sqrt {9 + 6\sqrt 3 }}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης