mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 04, 2020 7:08 pm**

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και έστω

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Αν b^2-c^2=2aR,

α) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει των πλευρών b, c.

β) να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b + c)}^2}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 05, 2020 9:02 am**

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2020 7:08 pm
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και έστω η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Αν

α) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει των πλευρών

β) να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b + c)}^2}}}$

Στο σχήμα 1

Είναι $BC\perp SL,AT\perp BC,AZ\perp SL,BM=MC$ ,

$b^{2}-c^{2}=2aR,b^{2}-c^{2}=2a(TM),TM=AZ=R$ Συνεπώς

$AZ=R,AZ^{2}=SZ.ZL, AS.AL=2R^{2},(1), AS^{2}+AL^{2}=4R^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow AS^{2}+AL^{2}=2AS.AL\Leftrightarrow AS=AL$

Διευκρινίζετε ότι από τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι $AS^{2}=SZ.2R,AL^{2}=2R.LZ,$

Στό σχήμα 2

$(ABC)=\dfrac{1}{2}.a(OM),E=\dfrac{abc}{4R},R=\dfrac{b^{2}-c^{2}}{2a}$ Οπότε

$OM=\dfrac{abc}{b^{2}-c^{2}},E=\dfrac{1}{2}a.(OM)=\dfrac{a^{2}cb}{2(b^{2}-c^{2})},(*)$

$TB=R-\dfrac{a}{2},AB^{2}=TB^{2}+OM^{2},OM^{2}=TB(TB+a)$

Αρα $AB^{2}-TB^{2}=TB^{2}+aTB\Leftrightarrow 2TB^{2}+aTB-c^{2}=0,$

γιατί $TB=R-\dfrac{a}{2},R=\dfrac{b^{2}-c^{2}}{2a},$

$2R^{2}-aR-c^{2}=0\Rightarrow a^{2}=\dfrac{(b^{2}-c^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}},(**) (*),(**)\Rightarrow (ABC)=\dfrac{bc(b^{2}-c^{2})}{2(b^{2}+c^{2})}$

Για το δεύτερο ερώτημα

$\dfrac{2}{a^{2}}=\dfrac{2(b^{2}+c^{2})}{(b^{2}-c^{2})^{2}}=\dfrac{(b+c)^{2}+(b-c)^{2}}{(b+c)^{2}(b-c)^{2}}= \dfrac{1}{(b-c)^{2}}+\dfrac{1}{(b+c)^{2}}$

mathematica.gr

Ειδικό τρίγωνο

Ειδικό τρίγωνο

Re: Ειδικό τρίγωνο