Μέσο τμήματος και μέσο τόξου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12539
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέσο τμήματος και μέσο τόξου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 03, 2020 3:26 pm

Μέσο τμήματος  και μέσο τόξου.png
Μέσο τμήματος και μέσο τόξου.png (9.31 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Προεκτείνουμε την ακτίνα OA=r , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , κατά τμήμα AS και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Από το μέσο M του τμήματος OS , φέρουμε το επίσης εφαπτόμενο

τμήμα MN . Υπολογίστε το τμήμα AS , ώστε το N να είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{AT} .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέσο τμήματος και μέσο τόξου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 03, 2020 3:56 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 03, 2020 3:26 pm
Μέσο τμήματος και μέσο τόξου.pngΠροεκτείνουμε την ακτίνα OA=r , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , κατά τμήμα AS και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Από το μέσο M του τμήματος OS , φέρουμε το επίσης εφαπτόμενο

τμήμα MN . Υπολογίστε το τμήμα AS , ώστε το N να είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{AT} .
Αν \angle AON=\theta τότε \angle AOT=2\theta και άρα 2\cdot \dfrac {r}{\cos \theta } = 2OM= OS = \dfrac {r}{\cos 2 \theta }. Έπεται

\cos \theta = 2 \cos 2\theta = 2(2 \cos ^2 \theta -1). Λύνονατας την δευτεροβάθμια ως προς \cos \theta και κρατώντας την θετική ρίζα θα βρούμε \cos \theta = \dfrac {1+ \sqrt {33}}{8} από όπου

AS = OS -r = 2OM -r = \dfrac {2r}{\cos \theta }  -r , και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10452
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέσο τμήματος και μέσο τόξου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 03, 2020 5:47 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 03, 2020 3:26 pm
Μέσο τμήματος και μέσο τόξου.pngΠροεκτείνουμε την ακτίνα OA=r , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , κατά τμήμα AS και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Από το μέσο M του τμήματος OS , φέρουμε το επίσης εφαπτόμενο

τμήμα MN . Υπολογίστε το τμήμα AS , ώστε το N να είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{AT} .
Θέτω AS=x. H ON τέμνει την ST στο P. Είναι:
ΜΤμ.ΜΤοξ.png
ΜΤμ.ΜΤοξ.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
\displaystyle ST = \sqrt {{x^2} + 2rx} και \displaystyle PA = PT = MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{x + r}}{2}} \right)}^2} - {r^2}}  = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2rx - 3{r^2}} }}{2}

Είναι ακόμα, \displaystyle P{S^2} = P{A^2} + {x^2} \Leftrightarrow PS = \frac{{\sqrt {5{x^2} + 2rx - 3{r^2}} }}{2} και από το εγγράψιμο OAPT έχω:

\displaystyle SP \cdot ST = x(x + r) \Leftrightarrow {x^3} + 4r{x^2} - 3{r^2}x - 6{r^3} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x = rt} {t^3} + 4{t^2} - 3t - 6 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{Horner}

(t + 1)({t^2} + 3t - 6) = 0, απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{t = \frac{x}{r} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {33}  - 3} \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης