Μεγιστοποίηση και ισότητα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση και ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 2:15 pm

Μεγιστοποίηση και ισότητα.png
Μεγιστοποίηση και ισότητα.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει σταθερή υποτείνουσα αλλά μεταβλητές τις κάθετες πλευρές του .

Φέρουμε το προς την υποτείνουσα ύψος AD και γράφουμε τους κύκλους : (B , BD) , (C , CD) ,

των οποίων σχεδιάζω το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα TP . Δείξτε ότι όταν μεγιστοποιηθεί

το τμήμα BP , τότε : CT=CB .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Νοέμ 28, 2020 3:05 pm

Είναι BT\parallel PC\Rightarrow
PT^2=BC^2-(BT-PC)^2=(BD+DC)^2-(BD-DC)^2=4BD\cdot DC (1)
Έτσι BP^2=BT^2+PT^2=BD^2+4BD\cdot DC
Έστω BD=x,BC=a έτσι BP^2=x^2+4x(a-x)=-3x^2+4ax
Έστω f(x)=3x^2-4ax\Rightarrow f'(x)=6x-4a
Έτσι η f(x) ελαχιστοποιείται για x=\dfrac{2a}{3}
\Leftrightarrow f(x)_{min}=-\dfrac{4a^2}{3}\Leftrightarrow BP_{max}=\dfrac{2\sqrt 3 a}{3}
Έτσι CP=DC=\dfrac{a}{3} (2)
Έτσι λόγω των (1),(2) έχουμε: CT^2=PC^2+PT^2=\dfrac{a^2}{9}+4\cdot \dfrac{2a}{3}\cdot\dfrac{a}{3}=a^2=BC^2
\Rightarrow CT=CB όταν το BP μεγιστοποιείται


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:46 pm

Μανώλη :clap2: :clap2:

Παναιτωλικός , ΟΦΗ , ή κάτι άλλο ;

Σημ. Παρατηρώ ότι σε προβλήματα ακροτάτων , καταφεύγεις στην παράγωγο , αν και μαθητής μικρότερης

τάξης και μπράβο . Είναι το ισχυρό εργαλείο , να ξέρεις όμως ότι οι θεματοδότες λατρεύουν τις λύσεις

με πιο απλά μέσα . Πως , ας πούμε , θα μπορούσες να βρεις αλλιώς το ακρότατο αυτού του θέματος ;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:46 pm

Καλησπέρα σε όλους. Αφήνοντας την προτεραιότητα στους μαθητές, ας προσθέσω κι ένα ακόμα ερώτημα. (Απο)δείξτε αυτό που δείχνει ο Θανάσης στο σχήμα: To S, σημείο τομής των CT, BP, είναι σημείο του (C, CD).


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:34 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:46 pm

Σημ. Παρατηρώ ότι σε προβλήματα ακροτάτων , καταφεύγεις στην παράγωγο , αν και μαθητής μικρότερης

τάξης και μπράβο . Είναι το ισχυρό εργαλείο , να ξέρεις όμως ότι οι θεματοδότες λατρεύουν τις λύσεις

με πιο απλά μέσα . Πως , ας πούμε , θα μπορούσες να βρεις αλλιώς το ακρότατο αυτού του θέματος ;
Για μία πιο απλή προσέγγιση είναι:
BP^2\leq c\Leftrightarrow-3x^2+4ax\leq c\Leftrightarrow 3x^2-4ax+c\geq 0
Με \Delta=16a^2-12c\Leftrightarrow c_{max}=\dfrac{4a^2}{3}
(Αν ήταν c>\dfrac{4a^2}{3} τότε δεν θα ίσχυε το =)
Και τα υπόλοιπα όπως παραπάνω
Τώρα για το ερώτημα του κύριου Ρίζου είναι:
\dfrac{CS}{ST}=\dfrac{(PCS)}{(PCT)}=\dfrac{PC\sin\widehat{CPB}}{PT\sin\widehat{BPT}}=\dfrac{PC}{PT}\csc 
\widehat{BPT}=\dfrac{PC}{PT}\dfrac{PT}{TB}=\dfrac{PC}{TB}=\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow ST=2SC\Leftrightarrow CT=3SC\Leftrightarrow CS=\dfrac{a}{3}
Άρα το S είναι σημείο του κύκλου (C,\dfrac{a}{3})
KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:46 pm
Παναιτωλικός , ΟΦΗ , ή κάτι άλλο ;
Ολυμπιακός :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:33 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώντας τον Μανώλη για την άμεση ανταπόκριση, δίνω μια κάπως διαφορετική προσέγγιση:

29-11-2020 Γεωμετρία.png
29-11-2020 Γεωμετρία.png (29.88 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές


Είναι BP^2= TP^2+BT^2.

Είναι TP = 2AD (γιατί;), άρα BP^2= 4AD^2+BD^2= 4BD \cdot DC+BD^2 =BD \cdot (4BC - 3BD).

Επειδή το άθροισμα  \displaystyle 3BD + \left( {4BC - 3BD} \right) είναι σταθερό, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν γίνουν ίσα (αν μπορεί να γίνουν ίσα). Αυτό συμβαίνει όταν  \displaystyle 3BD = 4BC - 3BD \Leftrightarrow BD = \frac{2}{3}BC, οπότε BD = 2DC.

Τότε TC^2= CP^2+PT^2= DC^2+4AD^2 = DC^2+ 4DC \cdot BD.

 \displaystyle  = DC\left( {DC + 4BD} \right) = 3D{C^2} = B{C^2} άρα PT = BC.

Παρατηρούμε ότι αν K το σημείο τομής CT, (C,CD), τότε είναιCK = CP άρα  \displaystyle \widehat P = {\widehat K_1} . Επειδή CP //BT, ως κάθετες στη PT, είναι  \displaystyle \widehat P = \widehat B . Επίσης  \displaystyle {\widehat K_1} = {\widehat K_2} ως κατακορυφήν, άρα και το BKT είναι ισοσκελές με KT = BT, οπότε CK+KT = DC + BD = BC.

Άρα οι διαγώνιοι του BCPT τέμνονται στο (C, CD).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 30, 2020 12:21 am

Manolis Petrakis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:34 pm
KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:46 pm

Παναιτωλικός , ΟΦΗ , ή κάτι άλλο ;
Ολυμπιακός :lol:
Η πιο σωστή επιλογή! :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης