Ελαχιστοποίηση εμβαδού

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση εμβαδού.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές

Το ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, δημιουργείται από την εφαπτομένη σε κινούμενο σημείο

,

του - ακτίνας

- τεταρτοκυκλίου $A\overset{\frown}{ED}$ και την εφαπτομένη του τόξου στο σημείο

.

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του ABCD

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:09 pm
Ελαχιστοποίηση εμβαδού.pngΤο ορθογώνιο τραπέζιο , δημιουργείται από την εφαπτομένη σε κινούμενο σημείο ,

του - ακτίνας - τεταρτοκυκλίου $A\overset{\frown}{ED}$ και την εφαπτομένη του τόξου στο σημείο .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του .

: Ελαχ.Εμβ..png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

$\displaystyle {(ABCD)_{\min }} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}$ όταν το

είναι μέσο της BC.

(Το

είναι ισόπλευρο).

Η λύση το απογευματάκι αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

Manolis Petrakis · #3

Καλημέρα!
Στο σχήμα του κύριου Βισβίκη:

: Ελαχ.Εμβ..png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

$AS=CH, \angle S=\angle H=90^{\circ}\Rightarrow ASB=CHB\Rightarrow HB=SB=a-x$
Από ΠΘ στο CHB

είναι: $a^2=(a-x)^2+r^2\Leftrightarrow a=\dfrac{x^2+r^2}{2x}$
$\Leftrightarrow r\cdot \dfrac{a+x}{2}=r\cdot \dfrac{3x^2+r^2}{4x}$
$\Leftrightarrow (ABCD)=r\cdot \dfrac{3x^2+r^2}{4x}$
Έστω $f(x)=r\cdot\dfrac{3x^2+r^2}{4x}$
$\Rightarrow f'(x)=r\cdot \dfrac{12x^2-4r^2}{16x^2}$
Η οποία μηδενίζεται για $x=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot r$
$\Rightarrow (ABCD)_{min}=r\cdot\dfrac{2r^2}{4r\frac{\sqrt 3}{3}}=\dfrac{r^2\sqrt 3}{2}$

#4

: Ελαχιστοποίηση εμβαδού.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

Ας είναι

η διάμεσος του τραπεζίου ABCD

με το

στη σταθερή AD = r

.

$\boxed{\left( {ABCD} \right) = rm}$ .Αρκεί το

να γίνει ελάχιστο.

Το

αποκλείεται να γίνει εσωτερικό σημείο του κύκλου , δηλαδή

$AM \geqslant r \Leftrightarrow A{M^2} \geqslant {r^2} \Leftrightarrow A{M^2} - \dfrac{{{r^2}}}{4} \geqslant \dfrac{{3{r^2}}}{4} \Leftrightarrow \boxed{m \geqslant \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}}$

Συνεπώς έχω ελάχιστο εμβαδόν όταν $\boxed{m = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}}$ το $\boxed{{{\left( {ABCD} \right)}_{\min }} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}}$

και τότε προφανώς $S \equiv M$ .

Ελαχιστοποίηση εμβαδού

Ελαχιστοποίηση εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση