Εμβαδόν και πλευρές

#1

Με αφορμή αυτήν.

: Εμβαδόν και πλευρές.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Ο κύκλος

είναι εγγεγραμμένος του τριγώνου ABC.

I) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του

II) Αν αυτό το εμβαδόν είναι ίσο αριθμητικά με την περίμετρο, να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

Νικάει όποιος δεν κάνει χρήση του τύπου $\boxed{\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{{\tau - a}}{\tau }}$ που χρησιμοποιήθηκε στην παραπομπή.

Manolis Petrakis · #2

Καλησπέρα!
Έστω $KD\perp BC, KE\perp AC, KZ\perp AB$
Έστω ακόμη ότι AE=AZ=x

Είναι $\sin B=2\cos \frac{B}{2}\sin \frac{B}{2}=2\cdot\dfrac{BD\cdot DK}{BK^2}=2\dfrac{3k^2}{10k^2}=\dfrac{3}{5}$
Ομοίως βρίσκουμε ότι $\sin C=2\cdot\dfrac{CD\cdot DK}{CK^2}=2\cdot\dfrac{7k^2}{50k^2}=\dfrac{7}{25}$
Από νόμο ημιτόνων στο ABC

και τις

παίρνουμε:
$\dfrac{5(x+7k)}{3}=\dfrac{25(x+3k)}{7}\Leftrightarrow 7(x+7k)=15(x+3k)\Leftrightarrow x=\dfrac{k}{2}$
Έτσι $\tau=\dfrac{21k}{2}\Rightarrow (ABC)=r\tau=\frac{21k^2}{2}$
Για το II) είναι $a+b+c=2\tau,(ABC)=r\tau\Rightarrow r=2$ για κάθε τρίγωνο και εδώ k=2

$\Rightarrow AB=7,BC=20,CA=15$

KARKAR · #3

Αν αυτή η λύση του Μανώλη , εμφανιζόταν εδώ ,

θα κέρδιζε την νίκη , άσχετα με την σειρά εμφάνισης ! *

#4

Ο Μανώλης έχει ήδη δώσει δείγματα γραφής με τις τεκμηριωμένες και ευφυείς παρεμβάσεις του.

Ανήκει σ' αυτή την ελπιδοφόρα γενιά των νέων που, παρόλες τις δυσμενείς συνθήκες των καιρών

μας, αγωνίζεται για το καλύτερο. Συγχαρητήρια!

kkala · #5

Μία αλγεβρική λύση μπορεί να στηριχθεί στο εμβαδόν

ή

του τριγώνου, που εκφράζεται (1) σαν το γινόμενο της ημιπερίμετρου

επί την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (στην περίπτωσή μας

), είτε (2) από τύπο του Ήρωνα. Αν AE=AZ=x

κατά το #2, έχουμε s=10k+x

,

(βλ σχήμα του #1, george visvikis).
(1) $E1=sk=(10k+x)k=10k^{2}+kx$
(2) $E2^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)=(10k+x)x\cdot3k\cdot7k = 210k^{3}x+21k^{2}x^{2}$
Προφανώς $E1^{2}=E2^{2}$ , οπότε προκύπτει η εξίσωση $20k^{2}x^{2}+190k^{3}x-100k^{4}=0$ . Ρίζα της είναι η x=0.5k

, καθώς και x=-10k

που απορρίπτεται (αρνητική).
Επομένως βάσει της (1) το εμβαδον του τριγώνου είναι $E1=10.5k^{2}$ .
Αν ήταν αριθμητικά E1=2s

, δηλαδή $10.5k^{2}=2(10k+0.5k)$ , η προκύπτουσα εξίσωση δίνει k=2

, οπότε

και $a=21-0.5\cdot2=20$ , $b=21-3\cdot2=15$ , $c=21-7\cdot2=7$ .
Τα αποτελέσματα συμφωνούν με του #2 (Manolis Petrakis).

Εμβαδόν και πλευρές

Εμβαδόν και πλευρές

Re: Εμβαδόν και πλευρές

Re: Εμβαδόν και πλευρές

Re: Εμβαδόν και πλευρές

Re: Εμβαδόν και πλευρές

Μέλη σε σύνδεση