Εμβαδόν και πλευρές

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εμβαδόν και πλευρές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 11:38 am

Με αφορμή αυτήν.
Εμβαδόν και πλευρές.png
Εμβαδόν και πλευρές.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
Ο κύκλος (K, k) είναι εγγεγραμμένος του τριγώνου ABC. I) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του k.

II) Αν αυτό το εμβαδόν είναι ίσο αριθμητικά με την περίμετρο, να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.



Νικάει όποιος δεν κάνει χρήση του τύπου \boxed{\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{{\tau  - a}}{\tau }} που χρησιμοποιήθηκε στην παραπομπή.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Εμβαδόν και πλευρές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:03 pm

Καλησπέρα!
Έστω KD\perp BC, KE\perp AC, KZ\perp AB
Έστω ακόμη ότι AE=AZ=x
Είναι \sin B=2\cos \frac{B}{2}\sin \frac{B}{2}=2\cdot\dfrac{BD\cdot DK}{BK^2}=2\dfrac{3k^2}{10k^2}=\dfrac{3}{5}
Ομοίως βρίσκουμε ότι \sin C=2\cdot\dfrac{CD\cdot DK}{CK^2}=2\cdot\dfrac{7k^2}{50k^2}=\dfrac{7}{25}
Από νόμο ημιτόνων στο ABC και τις (1),(2) παίρνουμε:
\dfrac{5(x+7k)}{3}=\dfrac{25(x+3k)}{7}\Leftrightarrow 7(x+7k)=15(x+3k)\Leftrightarrow x=\dfrac{k}{2}
Έτσι \tau=\dfrac{21k}{2}\Rightarrow (ABC)=r\tau=\frac{21k^2}{2}
Για το II) είναι a+b+c=2\tau,(ABC)=r\tau\Rightarrow r=2 για κάθε τρίγωνο και εδώ k=2
\Rightarrow AB=7,BC=20,CA=15


M\alpha \nu \acute{\omega} \lambda \eta \varsigma
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδόν και πλευρές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 20, 2020 7:36 pm

Αν αυτή η λύση του Μανώλη , εμφανιζόταν εδώ ,

θα κέρδιζε την νίκη , άσχετα με την σειρά εμφάνισης ! *


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν και πλευρές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:35 am

Ο Μανώλης έχει ήδη δώσει δείγματα γραφής με τις τεκμηριωμένες και ευφυείς παρεμβάσεις του.

Ανήκει σ' αυτή την ελπιδοφόρα γενιά των νέων που, παρόλες τις δυσμενείς συνθήκες των καιρών

μας, αγωνίζεται για το καλύτερο.
Συγχαρητήρια! :clap2:


kkala
Δημοσιεύσεις: 132
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Εμβαδόν και πλευρές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm

Μία αλγεβρική λύση μπορεί να στηριχθεί στο εμβαδόν E1 ή E2 του τριγώνου, που εκφράζεται (1) σαν το γινόμενο της ημιπερίμετρου s επί την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (στην περίπτωσή μας k), είτε (2) από τύπο του Ήρωνα. Αν AE=AZ=x κατά το #2, έχουμε s=10k+x, s-a=x,s-b=3k, s-c=7k (βλ σχήμα του #1, george visvikis).
(1) E1=sk=(10k+x)k=10k^{2}+kx
(2) E2^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)=(10k+x)x\cdot3k\cdot7k = 210k^{3}x+21k^{2}x^{2}
Προφανώς E1^{2}=E2^{2}, οπότε προκύπτει η εξίσωση 20k^{2}x^{2}+190k^{3}x-100k^{4}=0. Ρίζα της είναι η x=0.5k, καθώς και x=-10k που απορρίπτεται (αρνητική).
Επομένως βάσει της (1) το εμβαδον του τριγώνου είναι E1=10.5k^{2}.
Αν ήταν αριθμητικά E1=2s, δηλαδή10.5k^{2}=2(10k+0.5k), η προκύπτουσα εξίσωση δίνει k=2, οπότε s=10k+0.5k=21 και a=21-0.5\cdot2=20, b=21-3\cdot2=15, c=21-7\cdot2=7.
Τα αποτελέσματα συμφωνούν με του #2 (Manolis Petrakis).


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες