Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 18, 2020 7:30 pm

Εμβαδόν από ακτίνα  εγκύκλου.png
Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Οι εφαπτόμενες από τα σημεία B , C προς τον κύκλο (K,k) , τέμνονται στο σημείο A .

Υπολογίστε το (ABC) . Νικητής θα αναδειχθεί αυτός που θα αναρτήσει την τρίτη λύση :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 18, 2020 9:56 pm

Αναρτώ τούτη τη λύση μήπως και είναι πιο κομψή η 3η.... :D

18-11-2020 Γεωμετρία b.png
18-11-2020 Γεωμετρία b.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Έστω κύκλος C: x^2+y^2=k^2, k>0 και B(-2k, -k), C(3k, -k).

Έστω  \displaystyle y + k = \lambda \left( {x + 2k} \right) \Leftrightarrow \lambda x - y + 2\lambda \kappa  - \kappa  = 0 η εξίσωση της εφαπτομένης e_1 του κύκλου από το B, οπότε

 \displaystyle \frac{{\left| {\lambda  \cdot 0 - y \cdot 0 + 2\lambda k - k} \right|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }} = k \Leftrightarrow \left| {2\lambda  - 1} \right| = \sqrt {{\lambda ^2} + 1}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 3{\lambda ^2} - 4\lambda  = 0 \Leftrightarrow \lambda  = \frac{4}{3} , αφού  \displaystyle \lambda  \ne 0 .

Οπότε  \displaystyle {e_1}:\;\;y = \frac{4}{3}x + \frac{{5k}}{3}

Έστω  \displaystyle y + k = \lambda '\left( {x - 3k} \right) \Leftrightarrow \lambda 'x - y - 3\lambda 'k - k = 0 η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου από το C, οπότε

 \displaystyle \frac{{\left| {\lambda ' \cdot 0 - y \cdot 0 - 3\lambda 'k - k} \right|}}{{\sqrt {\lambda '{\,^2} + 1} }} = k \Leftrightarrow \left| {3\lambda ' + 1} \right| = \sqrt {\lambda '{\,^2} + 1}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 8\lambda '{\;^2} + 6\lambda ' = 0 \Leftrightarrow \lambda ' =  - \frac{3}{4} , αφού  \displaystyle \lambda  \ne 0 .

Οπότε  \displaystyle {e_2}:\;\;y =  - \frac{3}{4}x + \frac{{5k}}{4}

Οι ευθείες τέμνονται στο  \displaystyle A\left( { - \frac{k}{5},\;\frac{{7k}}{5}} \right) .

 \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{BC \cdot d\left( {A,\;BC} \right)}}{2} = \frac{{5k \cdot \left( {\frac{{7k}}{5} + k} \right)}}{2} = 6{k^2} .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 18, 2020 10:06 pm

Δεν βλέπω άμεση ανταπόκριση. Δίνω 2η λύση. Πιο κομψή δε νομίζω να βρεθεί.


18-11-2020 Γεωμετρία c.png
18-11-2020 Γεωμετρία c.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Το ADKE είναι τετράγωνο.

Πράγματι,  \displaystyle \widehat {BKC} = 90^\circ  + \frac{{\widehat A}}{2} \Leftrightarrow \widehat A = 2 \cdot \widehat {BKC} - 180^\circ , αφού K έγκεντρο του ABC.

Στο BKC, με μονάδα το k, είναι BZ= 2, ZC =3, KZ = 1, οπότε  \displaystyle BK = \sqrt 5 ,\;\;CK = \sqrt {10} , άρα  \displaystyle \widehat {BKC} > 90^\circ .

Έστω KL προβολή του BK στη KC.

18-11-2020 Γεωμετρία.png
18-11-2020 Γεωμετρία.png (11.47 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Από Θεώρημα αμβλείας γωνίας στο ΒKC, είναι

 \displaystyle B{C^2} = B{K^2} + C{K^2} + 2CK \cdot KL \Leftrightarrow KL = \frac{{\sqrt {10} }}{2} , οπότε KLB ισοσκελές και ορθογώνιο, άρα  \displaystyle \widehat {BKC} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat A = 90^\circ .

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AB = AD + BD = k + BZ\\ 
AC = AE + EC = k + ZC\\ 
BC = 5k 
\end{array} \right. \Rightarrow AB + AC + BC = 12k

 \displaystyle \tau  = \frac{{AB + BC + CA}}{2}

 \displaystyle \left( {ABC} \right) = \tau  \cdot k = \frac{{12{k^2}}}{2} = 6{k^2}

edit: Αναζήτησα αμιγώς γεωμετρική απόδειξη για το ότι η γωνία A είναι ορθή. Η αρχική μου προσέγγιση ήταν τριγωνομετρική, όπως του Κώστα Σφακιανάκη, που χρονικά προηγείται αυτής της προσθήκης, ή της 3ης λύσης με χρήση εφαπτομένων.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Νοέμ 18, 2020 11:34 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 18, 2020 10:18 pm

Και νικήτρια είναι η 3η (τριγωνομετρική λύση...) :lol:

18-11-2020 Γεωμετρία d.png
18-11-2020 Γεωμετρία d.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές


 \displaystyle \varepsilon \varphi \varphi  = \frac{1}{2} \Rightarrow \varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }} = \frac{4}{3},\;\;\;\varepsilon \varphi \omega  = \frac{1}{3} \Rightarrow \varepsilon \varphi C = \frac{3}{4}

Προφανώς,  \displaystyle \widehat B + \widehat C = 90^\circ

άρα  \displaystyle AB = BC \cdot \eta \mu C = 5k \cdot \frac{3}{5} = 3k,\;\;\;AC = BC \cdot \eta \mu B = 5k \cdot \frac{4}{5} = 4k

Άρα  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{AB \cdot AC}}{2} = 6{k^2}


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Νοέμ 18, 2020 10:36 pm

Πολύ ωραίες και οι 3 προσεγγίσεις, με αναλυτική γεωμετρία, με ευκλείδεια και με τριγωνομετρία!

Δε θα προσθέσω άλλη ολοκληρωμένη λύση. Θα δώσω άλλον έναν τρόπο για να καταλήξουμε ότι η \angle A ορθή γωνία.

Με νόμο συνημιτόνων:

cos\angle BKC=\dfrac{BK^2+CK^2-BC^2}{2BK\cdot CK}=\dfrac{5k^2+10k^2-25k^2}{2\sqrt{5}k\sqrt{10}k}=

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \angle BKC=135^{\circ}\Leftrightarrow 90^{\circ}+\dfrac{A}{2}=135^{\circ}\Leftrightarrow \angle A=90^{\circ}

Από εδώ και ύστερα συνεχιζουμε όπως ο κύριος Γιώργος.


Κώστας Σφακιανάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Νοέμ 18, 2020 10:58 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 18, 2020 7:30 pm
Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου.pngΟι εφαπτόμενες από τα σημεία B , C προς τον κύκλο (K,k) , τέμνονται στο σημείο A .

Υπολογίστε το (ABC) . Νικητής θα αναδειχθεί αυτός που θα αναρτήσει την τρίτη λύση :lol:

tan \angle BKC=-tan(\theta + \phi )=- \dfrac{ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} }{1- \dfrac{1}{6} }=-1 \Rightarrow  \angle BKC=135^0 \Rightarrow  \angle A=90^0

Έτσι,(γνωστό) (ABC)=(BO) . (OC)=6k^2
εμβαδόν από ακτίνα έγκυκλου.png
εμβαδόν από ακτίνα έγκυκλου.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 10:21 am

Εμβ. από ακτίνα.png
Εμβ. από ακτίνα.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
Σε κάθε τρίγωνο, \displaystyle \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{{\tau  - a}}{\tau } \Leftrightarrow \frac{1}{6} = \frac{{\tau  - 5k}}{\tau } \Leftrightarrow \tau  = 6k, οπότε \boxed{(ABC)=6k^2}


Απόδειξη του αρχικού τύπου:
\displaystyle \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{{\tau  - b}} \cdot \frac{r}{{\tau  - c}} = \frac{{{r^2}\tau (\tau  - a)}}{{\tau (\tau  - a)(\tau  - b)(\tau  - c)}} = \frac{{{r^2}\tau (\tau  - a)}}{{{{(ABC)}^2}}} = \frac{{{r^2}\tau (\tau  - a)}}{{{\tau ^2}{r^2}}} = \frac{{\tau  - a}}{\tau }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 20, 2020 7:46 pm

Αν είμαι συνεπής με αυτό που καταλάβατε ως "τρίτη" λύση , η νίκη πάει στην Κέρκυρα ( γεια σου Γιώργο ! )

Το "τρίτη" λύση όμως δεν αναφέρεται κατ' ανάγκην στη σειρά εμφάνισης . Θα μπορούσε να σημαίνει

"τριτοκλασάτη" αλλά και "από μια τρίτη οπτική γωνία " . Αυτή θα ήταν ας πούμε η λύση του Μανώλη εκεί .

Κόβεται στην μέση το χρυσό μετάλλιο ; Μπορεί η λύση του Μιχάλη να μην πάρει έστω "εύφημη μνεία " ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης