Ώρα εφαπτομένης 61

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 61

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 11, 2020 2:07 pm

Ώρα  εφαπτομένης  61.png
Ώρα εφαπτομένης 61.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Στο εξωτερικό ενός κύκλου (O,r) εντοπίστε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ST , SP , να προκύψει : \tan\omega=2 .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ώρα εφαπτομένης 61

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Νοέμ 11, 2020 3:07 pm

Έστω \omega=2\theta
Έτσι \tan\omega=2\Leftrightarrow \tan 2\theta=2
\Leftrightarrow \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=2
\Leftrightarrow \tan^2\theta+\tan\theta -1=0\Leftrightarrow \tan \theta=\frac{-1\pm \sqrt 5}{2}
Αλλά στο σχήμα 0<\omega<\pi\Leftrightarrow 0<\theta<\frac{\pi}{2}
Έτσι \tan \theta>0\Rightarrow \tan \theta=\frac{-1+ \sqrt 5}{2}=\frac{1}{\phi}
\Rightarrow \frac{1}{\phi}=\tan \frac{\omega}{2}=\tan \angle PSO=\frac{r}{SP}
Έτσι SP=r\phi
\Rightarrow SO=\sqrt {SP^2+PO^2}=r \sqrt{\phi^2+1}=r\sqrt {\frac{5+\sqrt 5}{2}}=r\sqrt{\phi\sqrt5}
Το S είναι επομένως σημείο του κύκλου (O,r\sqrt{\phi^2+1}) ή αλλιώς (O,r\sqrt{\phi\sqrt5})
τελευταία επεξεργασία από Manolis Petrakis σε Σάβ Νοέμ 14, 2020 9:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 61

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 11, 2020 3:27 pm

Ωρα εφαπτομένης 61.png
Ωρα εφαπτομένης 61.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 61

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 11, 2020 8:03 pm

Ώρα εφαπτομένης.61.png
Ώρα εφαπτομένης.61.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Σε ένα σημείο P του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη και θεωρώ δύο σημεία της K', S' όπως φαίνονται στο σχήμα. Με

υποτείνουσα την K'S' κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο T'K'S', \widehat T'=90^\circ, ώστε K'T'=2T'S'. Το ζητούμενo

σημείο S προκύπτει από την παραλληλία OS||O'S'.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 61

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 11, 2020 9:27 pm

Ωρα εφαπτομένης 61_new.png
Ωρα εφαπτομένης 61_new.png (24.73 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Μετά την ωραία κατασκευή του Γιώργου ας δούμε μια ακόμη .

Θεωρώ τον κύκλο \left( {O,r} \right) την διάμετρό του AP και την εφαπτομένη του ευθεία στο P.

Έστω πάνω στη εφαπτομένη αυτή σημείο Bμε PB = 2r. Η BO τέμνει τον κύκλο στο σημείο D , ανάμεσα στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O,

Το τμήμα BD το τοποθετώ πάνω στη διάμετρο PA, δηλαδή \boxed{PF = BD}. Έτσι χωρίζεται , από το F, το PA σε μέσο κι άκρο λόγο .

Στην συνέχεια θεωρώ το μέσο, N του ημικυκλίου προς τη μεριά του B.( «Νότιος» πόλος )

Φέρνω την NFπου τέμνει τον κύκλο ακόμα στο T. Η εφαπτομένη ευθεία του κύκλου στο T τέμνει την ευθεία BP στο ζητούμενο σημείο S.

Η ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων TAP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,POS μας δίνει : \boxed{\tan \theta  = 2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης