Ώρα εφαπτομένης 57

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 57

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 06, 2020 8:36 pm

Ώρα  εφαπτομένης  57.png
Ώρα εφαπτομένης 57.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
Για τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A,B,O,C,D , είναι : AB=1 , BO=2 , OC=3 , CD=4 .

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AOC , επί του οποίου θεωρούμε σημείο S , ώστε : \widehat{BSD}=90^0 .

Ονομάζουμε T την τομή της DS με το τόξο . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta=\widehat{CTD} ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 57

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:50 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 06, 2020 8:36 pm
Ώρα εφαπτομένης 57.pngΓια τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A,B,O,C,D , είναι : AB=1 , BO=2 , OC=3 , CD=4 .

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AOC , επί του οποίου θεωρούμε σημείο S , ώστε : \widehat{BSD}=90^0 .

Ονομάζουμε T την τομή της DS με το τόξο . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta=\widehat{CTD} ) .
Κατασκευή

Ο κύκλος διαμέτρου BD τέμνει το ημικύκλιο στο S.

Φέρνω τώρα από το T παράλληλη στην SB και τέμνει την AD στο E. Η διάμεσος OM του τραπεζίου SBET είναι απόστημα στη χορδή ST οπότε BO = OE = 2.
¨Ωρα εφαπτομένης 57_oritzin_b.png
¨Ωρα εφαπτομένης 57_oritzin_b.png (24.74 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές
Για τα τμήματα DT = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS = b θα ισχύουν ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  DT \cdot DS = DC \cdot DA \hfill \\ 
  \frac{{DT}}{{TS}} = \frac{{DE}}{{EB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a\left( {a + b} \right) = 40 \hfill \\ 
  \frac{a}{b} = \frac{5}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = \frac{{10\sqrt 2 }}{3} \hfill \\ 
  b = \frac{{8\sqrt 2 }}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \left( 1 \right) και άρα \boxed{ST = 6\sqrt 2 } \left( 2 \right)

Από το Π. Θ. στο \vartriangle SBD, έχω: \boxed{SD = 3}\,\,\,\left( 3 \right). Γράφω τώρα τον κύκλο \left( {A,B,S} \right) που η DS τον τέμνει ακόμα στο F.

Επειδή : \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{A_{}}} ( εξωτερική στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ASTC και \widehat {{A_{}}} = \widehat {{F_{}}}

( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο) , θα είναι: \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{F_{}}} \Rightarrow BF//CT}\,\,\,\left(  *  \right). Αν θέσω FS = x

Θα ισχύει : \dfrac{{FT}}{{TD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{x + b}}{a} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{5a - 4b}}{4}}\,\,\,\left( 4 \right) .

Αλλά το τρίγωνο SFB είναι ορθογώνιο στο S , έτσι : \tan F = \dfrac{{BS}}{{SF}} και λόγω της

\left(  *  \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 3 \right)\,\,,\,\,\left( 4 \right) θα έχω: \boxed{\tan \theta  = \frac{{12}}{{5a - 4b}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \tan \theta  = \sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 57

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 07, 2020 7:57 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 06, 2020 8:36 pm
Ώρα εφαπτομένης 57.pngΓια τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A,B,O,C,D , είναι : AB=1 , BO=2 , OC=3 , CD=4 .

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AOC , επί του οποίου θεωρούμε σημείο S , ώστε : \widehat{BSD}=90^0 .

Ονομάζουμε T την τομή της DS με το τόξο . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta=\widehat{CTD} ) .
Έστω H η προβολή του S στην AD και BH=x.
Ώρα εφαπτομένης.57.png
Ώρα εφαπτομένης.57.png (15.7 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
\displaystyle AH \cdot HC = S{H^2} = BH \cdot HD \Leftrightarrow (x + 1)(5 - x) = x(9 - x) \Leftrightarrow x = 1 και \boxed{SH=2\sqrt 2}

Άρα, \boxed{\tan \theta  = \frac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 2 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης