Μέγιστο εμβαδόν 30

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12736
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 30

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 04, 2020 2:14 pm

Μέγιστο  εμβαδόν  30.png
Μέγιστο εμβαδόν 30.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Το M είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r . Σημείο S κινείται επί της OM

και η AS τέμνει το τόξο στο σημείο T . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TSB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 04, 2020 6:32 pm

μέγιστο εμβαδόν 30_αναλυτική.png
μέγιστο εμβαδόν 30_αναλυτική.png (18.08 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές
Θεωρώ τον μοναδιαίο κύκλο και k την κλίση της AS κι έχω:

S\left( {0,k} \right)\,\,\,,\,\,T\left( {\dfrac{{1 - {k^2}}}{{1 + {k^2}}},\dfrac{{2k}}{{1 + {k^2}}}} \right)\,\,,\,\,B\left( {0,1} \right) και άρα το εμβαδόν

\boxed{E = \left( {TSB} \right) = f(k) = \frac{{2k\left( {1 - {k^2}} \right)}}{{1 + {k^2}}}} που παρουσιάζει μεγίστη τιμή για

k = \sqrt {\sqrt 5  - 2} \,\,\, την \sqrt {10\sqrt 5  - 22} οπότε για κύκλο με ακτίνα r θα πρέπει :

\boxed{OS = r\sqrt {\sqrt 5  - 2} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{E_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{2}\sqrt {10\sqrt 5  - 22} }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 04, 2020 7:38 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 04, 2020 2:14 pm
Μέγιστο εμβαδόν 30.pngΤο M είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r . Σημείο S κινείται επί της OM

και η AS τέμνει το τόξο στο σημείο T . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TSB .
Μέγιστο εμβαδόν 30.png
Μέγιστο εμβαδόν 30.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές
\displaystyle AS \cdot AT = 2{r^2} \Leftrightarrow AT = \frac{{2{r^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }} και \displaystyle ST = AT - AS \Leftrightarrow ST = \frac{{{r^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }}

\displaystyle T{B^2} = 4{r^2} - A{T^2} \Leftrightarrow TB = \frac{{2xr}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }}. Άρα, \boxed{(TSB) = \frac{{TS \cdot TB}}{2} = \frac{{xr({r^2} - {x^2})}}{{{x^2} + {r^2}}}}

Με παραγώγους τώρα, παίρνω τα ίδια αποτελέσματα με τον Νίκο.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τετ Νοέμ 04, 2020 8:09 pm

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& (TSB)_{max} \rightarrow ((TAB)-(SAB))_{max} \rightarrow \cr 
& (k\cdot TK - k\cdot SO)_{max} \rightarrow (TK - SO)_{max} \rightarrow \cr 
&  ((r+r\cos(2\theta)\tan\theta - r\tan\theta)_{max} \cr 
& (r\cos(2\theta)\tan\theta)_{max} \rightarrow (r{1-\tan^2\theta \over 1+\tan^2\theta}\tan\theta)_{max} 
\end{aligned} 
}

Για f(x)=r{x-x^3 \over 1+x^2} = 0 βρίσκω x^2=-2\pm \sqrt{5} άρα

\displaystyle{ 
\tan^2\theta = \sqrt{5}-2 \rightarrow \tan\theta = \sqrt{\sqrt{5}-2} 
}

τότε είναι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& (TSB) = (TAB) - (SAB)  = {1\over 2} 2r (TK-SO) = r^2{1-\tan^2\theta \over 1 + \tan^2\theta}\tan\theta = \cr 
& = r^2{3-\sqrt{5} \over -1+\sqrt{5}}\sqrt{\sqrt{5}-2}\cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
megisto30.png
megisto30.png (317.72 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 05, 2020 1:55 am

Μια παρατήρηση :
μέγιστο εμβαδόν 30_extra.png
μέγιστο εμβαδόν 30_extra.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές

Στην περίπτωση που έχουμε το μέγιστο εμβαδόν \left( {TSB} \right) το S χωρίζει το AT σε μέσο κι άκρο λόγο .

Η κατασκευή επομένως μπορεί να γίνει ως εξής:

Χωρίζουμε την διάμετρο AB σε μέσο κι άκρο λόγο ( με το σημείο της F)

Το ημικύκλιο διαμέτρου AF τέμνει την OM στο σημείο S.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης