Μέγιστο εμβαδόν 29

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 29

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 03, 2020 2:03 pm

Μέγιστο εμβαδόν  29.png
Μέγιστο εμβαδόν 29.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
Στην προέκταση της διαμέτρου AB=2r ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S , ώστε : BS=r .

Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα SPT . Υπολογίστε το SP , ώστε το (APT) να μεγιστοποιηθεί .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 29

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 04, 2020 7:21 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 03, 2020 2:03 pm
Μέγιστο εμβαδόν 29.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου AB=2r ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S , ώστε : BS=r .

Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα SPT . Υπολογίστε το SP , ώστε το (APT) να μεγιστοποιηθεί .
Έστω SP=x.
Μέγιστο εμβαδόν 29.png
Μέγιστο εμβαδόν 29.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές
\displaystyle xST = 3{r^2} \Leftrightarrow \boxed{ST = \frac{{3{r^2}}}{x}} και \boxed{PT = \frac{{3{r^2} - {x^2}}}{x}}

{\rm{Stewart}} στο APS, \displaystyle rA{P^2} + 2{x^2}r = (4{r^2} - A{P^2})r + 6{r^3} \Leftrightarrow \boxed{AP = \frac{{\sqrt {9{r^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 2 }}}

Με νόμο συνημιτόνου στα APS, ATS βρίσκω πρώτα \displaystyle \cos \theta  = \frac{{3{r^2} + {x^2}}}{{4rx}} και μετά \boxed{AT = \frac{{3r\sqrt {{x^2} - {r^2}} }}{{x\sqrt 2 }}}

\displaystyle (ATP) = \frac{{AP \cdot AT \cdot PT}}{{4r}} \Leftrightarrow (ATP) = f(x) = \frac{3}{{8{x^2}}}(3{r^2} - {x^2})\sqrt {{x^2} - {r^2}} \sqrt {9{r^2} - {x^2}}

όπου με παραγώγους βρίσκω μέγιστη τιμή \boxed{ {(ATP)_{\max }} = \frac{{3{r^2}}}{4}} για \boxed{  x = r\sqrt {4 - \sqrt 7 }}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 29

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 04, 2020 10:09 am

Μέγιστο εμβαδόν 29_Ανάλυση.png
Μέγιστο εμβαδόν 29_Ανάλυση.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
Με O το κέντρο του ημικυκλίου, ας είναι M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F οι προβολές των O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A στην ευθεία SP.

Προφανώς \boxed{AF = \frac{3}{2}OM \Rightarrow \left( {ATP} \right) = \frac{3}{2}\left( {OTP} \right) \leqslant \frac{3}{4}{r^2}}

Στην περίπτωση του ίσον Θα είναι TP = r\sqrt 2 κι επειδή

SP \cdot ST = SB \cdot SA \Rightarrow x\left( {x + r\sqrt 2 } \right) = 3{r^2} \Rightarrow \boxed{x = r\frac{{\sqrt {14}  - \sqrt 2 }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης