Μέγιστο εμβαδόν 29

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 29.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=2r

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα SPT

. Υπολογίστε το

, ώστε το

να μεγιστοποιηθεί .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 03, 2020 2:03 pm
Μέγιστο εμβαδόν 29.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Υπολογίστε το , ώστε το να μεγιστοποιηθεί .

Έστω

: Μέγιστο εμβαδόν 29.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

$\displaystyle xST = 3{r^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ST = \frac{{3{r^2}}}{x}}$ και $\boxed{PT = \frac{{3{r^2} - {x^2}}}{x}}$

${\rm{Stewart}}$ στο APS,

$\displaystyle rA{P^2} + 2{x^2}r = (4{r^2} - A{P^2})r + 6{r^3} \Leftrightarrow$ $\boxed{AP = \frac{{\sqrt {9{r^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 2 }}}$

Με νόμο συνημιτόνου στα APS, ATS

βρίσκω πρώτα $\displaystyle \cos \theta = \frac{{3{r^2} + {x^2}}}{{4rx}}$ και μετά $\boxed{AT = \frac{{3r\sqrt {{x^2} - {r^2}} }}{{x\sqrt 2 }}}$

$\displaystyle (ATP) = \frac{{AP \cdot AT \cdot PT}}{{4r}} \Leftrightarrow (ATP) = f(x) = \frac{3}{{8{x^2}}}(3{r^2} - {x^2})\sqrt {{x^2} - {r^2}} \sqrt {9{r^2} - {x^2}}$

όπου με παραγώγους βρίσκω μέγιστη τιμή $\boxed{ {(ATP)_{\max }} = \frac{{3{r^2}}}{4}}$ για $\boxed{ x = r\sqrt {4 - \sqrt 7 }}$

#3

: Μέγιστο εμβαδόν 29_Ανάλυση.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές

Με

το κέντρο του ημικυκλίου, ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ οι προβολές των $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ στην ευθεία

.

Προφανώς $\boxed{AF = \frac{3}{2}OM \Rightarrow \left( {ATP} \right) = \frac{3}{2}\left( {OTP} \right) \leqslant \frac{3}{4}{r^2}}$

Στην περίπτωση του ίσον Θα είναι $TP = r\sqrt 2$ κι επειδή

$SP \cdot ST = SB \cdot SA \Rightarrow x\left( {x + r\sqrt 2 } \right) = 3{r^2} \Rightarrow \boxed{x = r\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 2 }}{2}}$

Μέγιστο εμβαδόν 29

Μέγιστο εμβαδόν 29

Re: Μέγιστο εμβαδόν 29

Re: Μέγιστο εμβαδόν 29

Μέλη σε σύνδεση