Γινόμενο ημιτόνων

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γινόμενο ημιτόνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 24, 2020 5:00 pm

Γινόμενο ημιτόνων.png
Γινόμενο ημιτόνων.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 200 φορές
Στο παραπάνω σχήμα είναι \displaystyle \varphi  = 4\omega  + 15^\circ. Να υπολογίσετε το γινόμενο \displaystyle P = \sin \varphi \sin \theta \sin \omega.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Γινόμενο ημιτόνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Οκτ 24, 2020 7:14 pm

Από το τρίγωνο ABC είναι: \omega +\theta =120^{\circ}
Και από το τετράπλευρο BCDE : 5\omega +2\theta=345^{\circ}
\Rightarrow \omega=35^{\circ}, \theta=85^{\circ}, \phi=155^{\circ}
Άρα \displaystyle P = \sin 155^{\circ} \sin 85^{\circ} \sin 35^{\circ}
=\sin 25^{\circ} \sin 35^{\circ}\cos 5^{\circ}
=\frac{1}{2}(\cos 10^{\circ}- \cos 60^{\circ})\cos 5^{\circ}
=\frac{1}{2}(\cos 10^{\circ}- \frac{1}{2})\cos 5^{\circ}
=\frac{1}{4}(2\cos 10^{\circ}\cos5^{\circ}-\cos5^{\circ})
=\frac{1}{4}\cos15^{\circ}
=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}
*Το διορθώνω μετά από την παρέμβαση του κύριου Βισβίκη
τελευταία επεξεργασία από Manolis Petrakis σε Σάβ Οκτ 24, 2020 8:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


M\alpha \nu \acute{\omega} \lambda \eta \varsigma
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γινόμενο ημιτόνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 24, 2020 7:38 pm

Manolis Petrakis έγραψε:
Σάβ Οκτ 24, 2020 7:14 pm
Από το τρίγωνο ABC είναι: \omega +\theta =120^{\circ}
Και από το τετράπλευρο BCDE : 5\omega +2\theta=345^{\circ}
\Rightarrow \omega=35^{\circ}, \theta=85^{\circ}, \phi=155^{\circ}
Άρα \displaystyle P = \sin 155^{\circ} \sin 85^{\circ} \sin 35^{\circ}\simeq 0,2414814566
Να υποθέσω ότι το αποτέλεσμα βγήκε με κομπιουτεράκι (calculator);
Πάντως υπάρχει ακριβής λύση.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4715
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Γινόμενο ημιτόνων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 24, 2020 8:22 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 24, 2020 7:38 pm
Manolis Petrakis έγραψε:
Σάβ Οκτ 24, 2020 7:14 pm
Από το τρίγωνο ABC είναι: \omega +\theta =120^{\circ}
Και από το τετράπλευρο BCDE : 5\omega +2\theta=345^{\circ}
\Rightarrow \omega=35^{\circ}, \theta=85^{\circ}, \phi=155^{\circ}
Άρα \displaystyle P = \sin 155^{\circ} \sin 85^{\circ} \sin 35^{\circ}\simeq 0,2414814566
Να υποθέσω ότι το αποτέλεσμα βγήκε με κομπιουτεράκι (calculator);
Πάντως υπάρχει ακριβής λύση.
Kαλησπέρα σε όλους. Ας συνεχίσω τη λύση του Μανώλη Πετράκη (για το καλωσόρισμα στο :logo: )

Φαντάζομαι ο Γιώργος εννοεί κάτι τέτοιο:

 \displaystyle \eta \mu 155^\circ  \cdot \eta \mu 85^\circ  \cdot \eta \mu 35^\circ  = \frac{1}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu 70^\circ  - \sigma \upsilon \nu 240^\circ } \right)\eta \mu 35^\circ

 \displaystyle  = \frac{1}{2}\left( {\eta \mu 20^\circ  + \frac{1}{2}} \right)\eta \mu 35^\circ  = \frac{1}{2}\eta \mu 20^\circ  \cdot \eta \mu 35^\circ  + \frac{1}{4}\eta \mu 35^\circ

 \displaystyle  = \frac{1}{4}\left( {\sigma \upsilon \nu 15^\circ  - \sigma \upsilon \nu 55^\circ  + \sigma \upsilon \nu 55^\circ } \right) = \frac{1}{4}\sigma \upsilon \nu 15^\circ  = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{8}

edit:
Μόλις είδα ότι συμπλήρωσε τη λύση του στην παραπάνω ανάρτηση ο Μανώλης.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γινόμενο ημιτόνων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 25, 2020 9:20 am

Έτσι ακριβώς είναι Γιώργο, όπως και η συμπληρωματική λύση του Μανώλη. Να υπενθυμίσω για τους παλιότερους (Ο Μανώλης ξέρει ήδη πολλά για την ηλικία του) τον τύπο από παλιά σχολικά βιβλία, τότε που η Τριγωνομετρία αποτελούσε ξεχωριστό μάθημα:

\boxed{4\sin a\sin (60^\circ  + a)\sin (60^\circ  - a) = \sin 3a} όπου για a=25^\circ, δίνει το ζητούμενο γινόμενο.


ΥΓ. Ο Γιώργος Ρίζος μπορεί να μην είναι τόσο παλιός όσο εγώ, αλλά στη Τριγωνομετρία (και όχι μόνο) είναι άπαιχτος!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες