Ο ρόλος των διαμέσων

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ο ρόλος των διαμέσων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 10, 2020 11:28 am

α) Να εκφράσετε το εμβαδόν τριγώνου ABC συναρτήσει των διαμέσων του m_a, m_b, m_c.

β) Αν {m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 10, 2020 6:46 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 10, 2020 11:28 am
α) Να εκφράσετε το εμβαδόν τριγώνου ABC συναρτήσει των διαμέσων του m_a, m_b, m_c.

β) Αν {m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
Εστω ABC το τρίγωνο G το βαρύκεντρο και M το μέσο του BC
Αν K το συμμετρικό του G ως προς το M
το τρίγωνο GKC έχει πλευρές τα \frac{2}{3}
των διαμέσων και εμβαδό το \frac{1}{3} του τριγώνου.
Παίρνουμε το Ηρωνα και τελειώσαμε.

Το πρόβλημα είναι πότε μεγιστοποιείται το εμβαδό τριγώνου όταν οι πλευρές του είναι μικρότερες η ίσες από
δοσμένα μήκη.
Με την προυπόθεση ότι τα δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου το μέγιστο εμβαδό
λαμβάνεται όταν πάρουμε το τρίγωνο με τα δοσμένα μήκη.
Εχω γεωμετρική απόδειξη αλλά δυστυχώς δεν προλαβαίνω να την γράψω.
Αν δεν απαντηθεί θα την γράψω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 18, 2020 11:06 am

Η άσκηση είναι από Εθνική Ολυμπιάδα. Αλλάζω την διατύπωση στο πρώτο ερώτημα:

α) Να δείξετε ότι \displaystyle (ABC) = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{m_a}^2{m_b}^2 + {m_b}^2{m_c}^2 + {m_c}^2{m_a}^2} \right) - \left( {{m_a}^4 + {m_b}^4 + {m_c}^4} \right)}

β) Αν {m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 18, 2020 6:53 pm

Θα γράψω την γεωμετρική απόδειξη που χρωστάω.
Στην ουσία έχουμε το εξής:

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό τριγώνου που οι πλευρές του είναι μικρότερες η ίσες από 2,3,4;

1)Από συμπάγεια η μέγιστη τιμή πιάνεται.
Αν αυτή πιάνεται με (a,b,c) όπου a<2,b<3,c<4 τότε για \epsilon >0
αρκετά μικρό μπορούμε να έχουμε τρίγωνο (a+\epsilon ,b+\epsilon,c+\epsilon)
όμοιο με το αρχικό,με μεγαλύτερο εμβαδό ,και που πληρούνται οι ανισότητες.

Αρα τουλάχιστον μια πλευρά του τριγώνου με το μέγιστο εμβαδό θα είναι 2η3 η4

2)Θα δείξουμε ότι δεν είναι 4
Εστω ότι το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδό είναι (a,b,4)
Αν είναι το ABC με AB=a,AC=b,BC=4
Με κέντρο το A φέρουμε ημικύκλιο ακτίνας b .Αν πάρουμε κάθετο από το A που τέμνει το ημικύκλιο στο C' τότε το τρίγωνο
BAC' έχει μεγαλύτερο εμβαδό από το προηγούμενο και πληρούνται οι περιορισμοί.

Αρα μία πλευρά του τριγώνου θα είναι 2η 3

Οι περιπτώσεις είναι όμοιες.

3)Αν μια πλευρά είναι 3 τότε οι΄άλλες θα είναι 2 και \sqrt{13}
Ας είναι το ABC με AB=3
Θα είναι AC\leq 4,BC\leq 2
Αν φέρουμε τους κύκλους (A,4) και (B,2) τότε το C θα βόσκει στο κοινό τους μέρος.
Αμεσα βλέπουμε ότι το τρίγωνο έχει μέγιστο εμβαδό όταν το C βρίσκεται στην κάθετο από το Bστην AB
και BC=2.
Ετσι θα είναι AC=\sqrt{13}


Η περίπτωση να είναι μια πλευρά ίση με 2 αντιμετωπίζεται όπως η περίπτωση 3)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 18, 2020 8:14 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Σεπ 18, 2020 11:06 am
Η άσκηση είναι από Εθνική Ολυμπιάδα. Αλλάζω την διατύπωση στο πρώτο ερώτημα:

α) Να δείξετε ότι \displaystyle (ABC) = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{m_a}^2{m_b}^2 + {m_b}^2{m_c}^2 + {m_c}^2{m_a}^2} \right) - \left( {{m_a}^4 + {m_b}^4 + {m_c}^4} \right)}

β) Αν {m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
Για το πρώτο ερώτημα.Δεν γνωρίζω αν είναι εντός φακέλλου.
Πάντως κάποτε τέτοια θέματα ηταν στις εξετάσεις για ΑΕΙ.
Στην ουσία πρέπει να δείξουμε την ταυτότητα

\displaystyle (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=K(2\sum a^2b^2-\sum a^4)
όπου K μία απόλυτη σταθερά.
Η ταυτότητα είναι συμμετρική και κυκλική.
Αν a=b+c ισχύει.(πράξεις)
Λόγω συμμετρίας το δεξιό είναι γινόμενο ενος πολυωνυμου πρώτου βαθμού επί το
\displaystyle (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
Αλλά και για -a=b+c ισχύει.
Αρα έχουμε την ταυτότητα.
Το K το υπολογίζουμε αν τα βάλουμε όλα 1 και είναι K=1


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 19, 2020 4:43 pm

Ευχαριστώ τον Σταύρο για την κάλυψη του παρόντος θέματος. Να πω απλώς,

ότι όταν πήγαινα σχολείο μαθαίναμε την παρακάτω ταυτότητα του De Moivre:

\boxed{{a^4} + {b^4} + {c^4} - 2({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}) = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c)}

Και επιπλέον κάναμε την απόδειξη ως παραγοντοποίηση από το πρώτο μέλος στο δεύτερο. Να συμπληρώσω ακόμα

ότι στο β) ερώτημα η απάντηση είναι 4, αν αντικαταστήσουμε στον τύπο του εμβαδού τις τιμές που βρήκε ο Σταύρος

\displaystyle {m_a} = 2,{m_b} = 3,{m_c} = \sqrt {13} . Τέλος δίνω την πηγή: Czeck and Slovak Olympiad III A 2012 .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 20, 2020 10:18 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 19, 2020 4:43 pm
Ευχαριστώ τον Σταύρο για την κάλυψη του παρόντος θέματος. Να πω απλώς,

ότι όταν πήγαινα σχολείο μαθαίναμε την παρακάτω ταυτότητα του De Moivre:

\boxed{{a^4} + {b^4} + {c^4} - 2({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}) = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c)}

Και επιπλέον κάναμε την απόδειξη ως παραγοντοποίηση από το πρώτο μέλος στο δεύτερο. Να συμπληρώσω ακόμα

ότι στο β) ερώτημα η απάντηση είναι 4, αν αντικαταστήσουμε στον τύπο του εμβαδού τις τιμές που βρήκε ο Σταύρος

\displaystyle {m_a} = 2,{m_b} = 3,{m_c} = \sqrt {13} . Τέλος δίνω την πηγή: Czeck and Slovak Olympiad III A 2012 .
Καλημέρα Γιώργο.
Την γνώριζα την ταυτότητα αλλά με την ευκαιρία έκανα ''διαφήμιση' της θεωρίας πολυωνύμων πολλών μεταβλητών.
Θεωρία που τώρα δεν διδάσκεται σχεδόν πουθενά.
Στα πανεπιστήμια μόνο σε πολύ προχωρημένα μαθήματα Αλγεβρας διδάσκεται.
Η πιο απλή απόδειξη της είναι με θεωρία τριωνύμου.
Θεωρούμε το πρώτο μέλος τριώνυμο του a βρίσκουμε τις ρίζες κλπ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 20, 2020 5:28 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Σεπ 20, 2020 10:18 am

Καλημέρα Γιώργο.
Την γνώριζα την ταυτότητα αλλά με την ευκαιρία έκανα ''διαφήμιση' της θεωρίας πολυωνύμων πολλών μεταβλητών.
Θεωρία που τώρα δεν διδάσκεται σχεδόν πουθενά.
Στα πανεπιστήμια μόνο σε πολύ προχωρημένα μαθήματα Αλγεβρας διδάσκεται.
Η πιο απλή απόδειξη της είναι με θεωρία τριωνύμου.
Θεωρούμε το πρώτο μέλος τριώνυμο του a βρίσκουμε τις ρίζες κλπ
Καλησπέρα Σταύρο.

Ασφαλώς και τη γνώριζες την ταυτότητα. Δεν φαντάζομαι να υπάρχει μαθηματικός που να μην την γνωρίζει. Αυτό που ήθελα να τονίσω, είναι ότι παλιά την μαθαίναμε στο σχολείο, μαζί με την ταυτότητα του Lagrange (με τις ορίζουσες), το Διώνυμο του Νεύτωνα, το άθροισμα ομοίων δυνάμεων με περιττό εκθέτη, κλπ. Πόσοι από τους σημερινούς μαθητές (που δεν ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά) γνωρίζουν αυτούς τους τύπους;

Να πω ακόμα ότι η πρώτη μου επαφή με την ταυτότητα του Euler ήταν ως άσκηση στην Γ' Γυμνασίου: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση \displaystyle {\alpha ^3} + {\beta ^3} + {\gamma ^3} - 3\alpha \beta \gamma (Δεν την κατάφερα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες