Λόγος για γωνία

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9783
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος για γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 20, 2020 8:02 pm

AM είναι η διάμεσος τριγώνου ABC με \displaystyle \sin B = \frac{c}{a}. Αν A\widehat MB=B\widehat AC, να βρείτε τη γωνία \widehat B.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Λόγος για γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Δευ Ιούλ 20, 2020 10:03 pm

Καλησπέρα κ.Γιώργο :)
Λίγο μακροσκελής...

Θέτω \widehat{BAM}=\omega και \widehat{MAC}=\vartheta

Απο τον ν.ημιτόνων στο τρίγωνο ABC έχω:
\dfrac{\sin\widehat{A}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{c}=\dfrac{\sin\widehat{B}}{b}\Leftrightarrow \sin \widehat{A}=\dfrac{c}{b},\,\,\sin\widehat{C}=\dfrac{c^{2}}{ab}

Με ν.ημιτόνων στα τρίγωνα ABM και AMC παίρνω αντίστοιχα:

\dfrac{\sin\omega }{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sin\widehat{A}}{c}\Leftrightarrow \sin\omega=\dfrac{\frac{a}{2}\cdot\dfrac{c}{b} }{c} =\dfrac{ac}{2bc} και,

\dfrac{\sin\vartheta }{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{AM}\Leftrightarrow \sin\vartheta= \dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{c^{2}}{ab}}{AM}=\dfrac{c^{2}}{2b\cdot AM}

Διαιρώντας τες κατα μέλη προκύπτει \dfrac{\sin\omega }{\sin\vartheta }=\dfrac{\dfrac{ac}{2bc}}{\dfrac{c^{2}}{2b\cdot AM}} =\dfrac{AM\cdota}{c^2}\,\,(1)

Όμως απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου έχω ακόμη \dfrac{c\cdot \sin\omega }{b\cdot \sin\vartheta }=1\Leftrightarrow\dfrac{ \sin\omega }{ \sin\vartheta } =\dfrac{b}{c}\,\,(2)

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των (1) και (2) έχω \dfrac{a\cdot AM}{c^{2}}=\dfrac{b}{c}\Leftrightarrow AM=\dfrac{bc}{a}

Είναι : AM^{2}=\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}=\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}=\dfrac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\Leftrightarrow (a^{2}-2b^{2})(a^{2}-2c^{2})=0\Leftrightarrow b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\,\,\acute{\eta}\,\, c=\dfrac{a}{\sqrt{2}}

Απο τις δυο αυτές περιπτώσεις προκύπτει \widehat{B}=45^{\circ}\,\,\acute{\eta }\,\,\widehat{B}=135^{\circ}



Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι στις πράξεις...
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Τρί Ιούλ 21, 2020 10:29 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγος για γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιούλ 20, 2020 10:38 pm

Καλό βράδυ σε όλους! Βρίσκω, όχι με πολλές πράξεις (*)
ότι sinB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Συνεπώς (αν το βλέπω καλά)

πρέπει Θεοδόση να προσέξουμε..μην μας ξεφύγει η ''ευρύχωρη'' :) ...

Υ.Γ (*) Με βάση την ομοιότητα των τριγώνων BAC και BAM όπως ακριβώς γράφει παρακάτω ο Στάθης!

Όσο για την ''ευρύχωρη'' εννοώ την αμβλεία \widehat{B}=135^{0} που έχει πλέον συμπεριλάβει και ο Θεοδόσης!

Φιλικά, Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Τρί Ιούλ 21, 2020 10:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Λόγος για γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Δευ Ιούλ 20, 2020 11:31 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 10:38 pm
Καλό βράδυ σε όλους! Βρίσκω, όχι με πολλές πράξεις ότι sinB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Συνεπώς (αν το βλέπω καλά)

πρέπει Θεοδόση να προσέξουμε..μην μας ξεφύγει η ''ευρύχωρη'' :) ...

Φιλικά, Γιώργος.
Οταν κολλήσει το μυαλό, η λύση βγάζει πόδια :lol:

Μια αισθητά συντομότερη:

Φαίρνω το ύψος AD.

Είναι \sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow c^{2}=a\cdot AD\Leftrightarrow AD=\dfrac{c^{2}}{a}\,\,(1)

Έχουμε ακόμα \sin\widehat{A}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{AM }=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow AM=\dfrac{AD\cdot b}{c}\overset{(1)}{=}\dfrac{bc}{a}, οπότε αντικαθιστώντας στον τύπο της διαμέσου καταλήγουμε ότι \widehat{B}=45^{\circ}\,\,\acute{\eta }\,\,\widehat{B}=135^{\circ}.
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Τρί Ιούλ 21, 2020 10:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4048
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Λόγος για γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Ιούλ 20, 2020 11:56 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 8:02 pm
AM είναι η διάμεσος τριγώνου ABC με \displaystyle \sin B = \frac{c}{a}. Αν A\widehat MB=B\widehat AC, να βρείτε τη γωνία \widehat B.
Να δούμε και το πιο γρήγορο που νομίζω ότι αναφέρει ο Γιώργος

Προφανώς είναι \vartriangle ABC\sim \vartriangle MBA\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{c}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow {{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\sin }^{2}}B=\dfrac{1}{2}\overset{B\in \left( 0,\pi  \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle B={{45}^{0}} ή \angle B={{135}^{0}}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7531
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος για γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 21, 2020 12:17 am

Επειδή \widehat {BAC} = \widehat {AMB} \Rightarrow \widehat {{a_1}} + \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{C_{}}} + \widehat {{\omega _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{C_{}}}} . Δηλαδή η AB εφάπτεται του κύκλου \left( {A,M,C} \right).

Θα ισχύει : A{B^2} = BM \cdot BC \Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\,\,\left( 1 \right)
λόγος και γωνία.png
λόγος και γωνία.png (24.04 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές
Φέρνω το ύψος; AD = h και θα είναι : \sin B = \dfrac{h}{c} = \dfrac{c}{a} \Rightarrow ha = {c^2}\,\,\left( 2 \right)

Από τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) έχω: \boxed{a = 2h}\,\,\left( 3 \right) .

Η κατασκευή \vartriangle ABC για το οποίο ισχύουν οι \left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right) δίδει ορθογώνιο στο A και ισοσκελές .

Ενδέχεται όμως να είναι : η γωνία στο B , 135°.

που υπακούει σε όλες τις προδιαγραφές της εκφώνησης .


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Λόγος για γωνία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τρί Ιούλ 21, 2020 11:31 am

Καλημέρα,
Φέρνω τα ύψη AD και CE.

Είναι \sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{CE}{a}\Leftrightarrow CE=c.

Aπο την ομοιότητα των τριγώνων CBE και ABD έχω \dfrac{BE}{BD}=\dfrac{a}{c}\overset{ED\parallel AM }{\Leftarrow \!\Rightarrow } \dfrac{c}{a/2}=\dfrac{a}{c}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}c

Είναι τώρα \sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a }=\dfrac{c}{\sqrt{2}c}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, επομένως \widehat{B}=45^{\circ}\,\,\acute{\eta} \,\,\widehat{B}=135^{\circ}.
Λόγος για γωνία.png
Λόγος για γωνία.png (28.64 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Υγ1: Στις προηγούμενες λύσεις μου (#2,#4) πρόσθεσα την περίπτωση \widehat{B}=135^{\circ}, την οποία προηγουμένως αγνόησα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης