Καρτεσιανός τόπος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Καρτεσιανός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am

Καρτεσιανός  τόπος.png
Καρτεσιανός τόπος.png (3.7 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές
Στις πλευρές της ορθής γωνίας \hat{O} θεωρούμε σημεία A , B , ώστε : OA=a , OB=b , (a\geq b) .

Σημείο S κινείται επί του OB και σημείο T στην προέκταση του OA , ώστε : AT=BS .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4104
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καρτεσιανός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Ιούλ 16, 2020 6:52 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am
Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας \hat{O} θεωρούμε σημεία A , B , ώστε : OA=a , OB=b , (a\geq b) .

Σημείο S κινείται επί του OB και σημείο T στην προέκταση του OA , ώστε : AT=BS .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος ST .
εδώ θα βρείτε το κλειδί του προβλήματος και δεν είναι ανάγκη η γωνία AOB να είναι ορθή και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί (ευκλείδεια βέβαια :D )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5639
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Καρτεσιανός τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 16, 2020 9:01 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am
Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας \hat{O} θεωρούμε σημεία A , B , ώστε : OA=a , OB=b , (a\geq b) .

Σημείο S κινείται επί του OB και σημείο T στην προέκταση του OA , ώστε : AT=BS .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος ST .
Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία (καταθέτω την διαπραγμάτευση που μου "ήρθε" άμεσα στο Νου).

Στην τυχούσα γωνία xOy κινούνται τα σημεία T,S με την ιδιότητα OT + OS = OA + OB = k, όπου k σταθερό ευθύγραμμο τμήμα.
Με βάση το θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο OSQT, όπου Q η τομή του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο OST με την διχοτόμο της γωνίας \angle xOy, το ευθύγραμμο τμήμα OQ, άρα και το σημείο Q βγαίνουν σταθερά.
Το ορθογώνιο τρίγωνο QMT διατηρεί τις γωνίες του. Αν L είναι η τομή του περιγεγραμμένου κύκλους στο QMT με την Ox, τότε το σημείο L είναι σταθερό, αφού \δισπλαυστυλε{\angle QLT = \frac{\pi }{2}.} Όμως \δισπλαυστυλε{\angle MLQ = \frac{{\angle xOy}}{2},\;ct.}
Άρα η ημιευθεία LM θα είναι σταθερή και εκεί επάνω θα κινείται το σημείο M.
P, th.png
P, th.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13581
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Καρτεσιανός τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 16, 2020 9:35 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am
Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας \hat{O} θεωρούμε σημεία A , B , ώστε : OA=a , OB=b , (a\geq b) .

Σημείο S κινείται επί του OB και σημείο T στην προέκταση του OA , ώστε : AT=BS .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος ST .
Με Αναλυτική Γεωμετρία είναι τετριμμένο, χωρίς καμία ουσιαστική σκέψη: Έστω A(a,0),\, B(0,b) οπότε για κάποιο k\ge 0 είναι T(a+k,0),\, S(0,b-k). Άρα το μέσον M(x_M,\, ,y_M) του ST ικανοποιεί x_M=\dfrac {a+k}{2},\, y_M= \frac {b-k}{2} και άρα x_M+y_M=\dfrac {a+b}{2}. Συνεπώς ο ζητούμενος τόπος είναι η ημιευθεία επί της y= \dfrac {a+b}{2}-x, με x\ge \dfrac {a}{2}.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5639
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Καρτεσιανός τόπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 16, 2020 9:53 pm

Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία.

Και μία πιο απλή από την πρώτη μου, που εκεί επιστράτευσα .... "πυροβολικό".
Βέβαια έχουμε στο σχήμα που ακολουθεί MK\parallel Ox,\;MH\parallel Oy, οπότε MK + MH = \frac{{OT + OS}}{2} = \frac{{OA + OB}}{2},\;ct.
Άρα αν HR=HM, KF=MK, τότε στη σταθερή ευθεία RF, θα κινείται το M.
P, th.png
P, th.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4104
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καρτεσιανός τόπος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιούλ 17, 2020 1:18 am

S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιούλ 16, 2020 9:53 pm
Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία.

Και μία πιο απλή από την πρώτη μου, που εκεί επιστράτευσα .... "πυροβολικό".
Βέβαια έχουμε στο σχήμα που ακολουθεί MK\parallel Ox,\;MH\parallel Oy, οπότε MK + MH = \frac{{OT + OS}}{2} = \frac{{OA + OB}}{2},\;ct.
Άρα αν HR=HM, KF=MK, τότε στη σταθερή ευθεία RF, θα κινείται το M.
P, th.png
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1465
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Καρτεσιανός τόπος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιούλ 17, 2020 4:35 am

Καλημέρα σε όλους! Θα κάνω μια προσπάθεια να ..συλλάβω την ουσία της τελευταίας -εξαιρετικής ως σκεπτικό- λύσης του Σωτήρη.

Σκοπός και ικανοποίησή μου, να είναι επιτυχής και να γίνει κατανοητή από περισσότερους φίλους μας.
17- 7 τόπος(1).png
17- 7 τόπος(1).png (104.42 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Στο σχήμα έχουμε επιπλέον το N μέσο του AB ..NL,MH \parallel OB ενώ OR=\dfrac{OA+OB}{2}

Όταν S\equiv B τότε T\equiv A άρα M\equiv N. Όταν S\equiv O είναι \dfrac{ST}{2}=\dfrac{OA+OB}{2}=OR οπότε M\equiv R.
Θα δείξουμε ότι το M ανήκει στο τμήμα RN.
Στο τρίγωνο LRN έχουμε LN=OB/2 και LR=OR-OL=\dfrac{OA+OB}{2}-\dfrac{OA}{2}=\dfrac{OB}{2}=LN άρα \widehat{LRN}=\dfrac{\pi -\omega }{2}

αλλά και στο τρίγωνο MHR είναι HM=OS/2 και HR=OR-OH=\dfrac{OA+OB}{2}-\dfrac{OT}{2}=..=\dfrac{OS}{2}

συνεπώς \widehat{MRH}=\dfrac{\pi -\omega }{2} .Από την ισότητα \widehat{MRH}=\widehat{LRN} προκύπτει ότι τα σημεία R,M,N είναι συνευθειακά.

Τελικά ο ζητούμενος τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα RN.


Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες