Ελάχιστη εφαπτομένη

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 01, 2020 4:52 pm

Ελάχιστη εφαπτομένη...png
Ελάχιστη εφαπτομένη...png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές
Το ορθόκεντρο H τριγώνου ABC είναι μέσο του ύψους AD. α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η \displaystyle \tan A

β) Αν \displaystyle \tan A = 3, να δείξετε ότι μία από τις άλλες δύο γωνίες είναι 45^\circ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12829
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 01, 2020 7:26 pm

Μπορεί να σας φανεί χρήσιμη η λύση του κ. Βισβίκη εδώ .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 02, 2020 1:49 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιουν 01, 2020 4:52 pm
Ελάχιστη εφαπτομένη...png
Το ορθόκεντρο H τριγώνου ABC είναι μέσο του ύψους AD. α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η \displaystyle \tan A

β) Αν \displaystyle \tan A = 3, να δείξετε ότι μία από τις άλλες δύο γωνίες είναι 45^\circ.
Ελάχιστη εφαπτομένη.png
Ελάχιστη εφαπτομένη.png (32.36 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές
α) Θεωρώ οριζόντια ευθεία , σημείο της D και κάθετο τμήμα DA = 2\,\, και το μέσο του H.

Γράφω κύκλο που διέρχεται από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H, εφάπτεται δε στην οριζόντια ευθεία στο σημείο B .

Φέρνω από το A κάθετη στη BH και τέμνονται στο E . Οι ευθείες AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD τέμνονται στο C.

Το σημείο B βλέπει το AH με τη μεγαλύτερη δυνατή γωνία \theta αφού για οποιοδήποτε άλλο σημείο {B_1} της οριζόντια ευθεία η γωνία {\theta _1} < \theta .

Συνεπώς θα έχω \tan A\,\,ελάχιστη .

Αν BD = d από την ομοιότητα των \vartriangle EAH\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DHB αν HE = k θα είναι EA = dk.

Θα ισχύουν ταυτόχρονα : \left\{ \begin{gathered} 
  D{B^2} = DH \cdot DA \hfill \\ 
  B{H^2} = D{B^2} + D{H^2} \hfill \\ 
  E{A^2} + E{H^2} = A{H^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  d = \sqrt 2  \hfill \\ 
  BH = \sqrt 3  \hfill \\ 
  3{k^2} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  d = \sqrt 2  \hfill \\ 
  BH = \sqrt 3  \hfill \\ 
  k = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άρα : \tan A = \dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{BH + HE}}{{AE}} = \dfrac{{\sqrt 3  + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = 2\sqrt 2

Ελάχιστη εφαπτομένη_2ο σκέλος.png
Ελάχιστη εφαπτομένη_2ο σκέλος.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές
β) Ας είναι M η προβολή του D στη BH . Θέτω BM = x και θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  B{M^2} = B{D^2} - D{M^2} \hfill \\ 
  A{H^2} = E{M^2} + E{A^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {d^2} - {d^2}{k^2} \hfill \\ 
  1 = {k^2} + {k^2}{d^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {d^2}\left( {1 - {k^2}} \right) \hfill \\ 
  1 - {k^2} = {k^2}{d^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Άρα : x = {d^2}k, οπότε : \tan A = 3 \Rightarrow \dfrac{{x + 2k}}{{dk}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{{d^2}k + 2k}}{{dk}} = 3 \Rightarrow {d^2} - 3d + 2 = 0

Δηλαδή \boxed{d = 1} \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {{C_{}}} = 45^\circ .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 03, 2020 7:00 pm

Διαφορετικά. Έστω E το δεύτερο σημείο τομής του ύψους AD με τον περιγεγραμμένο κύκλο. Είναι DE=\dfrac{AD}{2}.
Ελάχιστη εφαπτομένη.Ι..png
Ελάχιστη εφαπτομένη.Ι..png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές
α) \displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DE = \frac{{A{D^2}}}{2} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} = 2 \Leftrightarrow \boxed{\tan B\tan C = 2} (1)

\displaystyle \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \tan A = \tan B + \tan C \ge 2\sqrt {\tan B\tan C}  = 2\sqrt 2

Άρα \boxed{{(\tan A)_{\min }} = 2\sqrt 2} όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές \boxed{\widehat B=\widehat C}

β) \displaystyle \tan {\rm B} + \tan C = 3 και από την (1) οι \displaystyle \tan {\rm B}, \tan C είναι ρίζες της εξίσωσης x^2-3x+2=0.

Επομένως μία από τις δύο παίρνει την τιμή 1 και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης