34 και βάλε

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

34 και βάλε

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 28, 2020 8:29 pm

34  και βάλε.png
34 και βάλε.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές
Στο εσωτερικό του τριγώνου ABC με πλευρές : AB=10 , AC=17 , BC=21 , κινείται σημείο S . Αν : T,Q,P

οι προβολές του S στις AB,AC,BC αντίστοιχα , υπάρχει θέση του S , για την οποία : ST^2+SQ^2+SP^2=34 ;



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 34 και βάλε

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 28, 2020 11:31 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 28, 2020 8:29 pm
34 και βάλε.pngΣτο εσωτερικό του τριγώνου ABC με πλευρές : AB=10 , AC=17 , BC=21 , κινείται σημείο S . Αν : T,Q,P

οι προβολές του S στις AB,AC,BC αντίστοιχα , υπάρχει θέση του S , για την οποία : ST^2+SQ^2+SP^2=34 ;
Δεν υπάρχει.
Το εμβαδό του τριγώνου είναι 84
Αν πούμε x,y,z τα μήκη των καθέτων θα είναι \frac{1}{2}(10x+17y+21z)=84
Από C-S εχουμε
(x^2+y^2+z^2)(10^2+17^2+21^2)\geq (168)^2
δηλαδή
(x^2+y^2+z^2)830\geq (168)^2
Επειδή
\frac{168^2}{830}> 34
δέν υπάρχει.
Φυσικά ούτε εξω από το τρίγωνο υπάρχει γιατί τότε
\frac{1}{2}(10x+17y+21z)\geq84


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 34 και βάλε

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 29, 2020 10:58 am

Να συμπληρώσω απλώς, ότι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων επιτυγχάνεται όταν S είναι το σημείο

\displaystyle {\rm{Lemoine}} του τριγώνου.Στο συγκεκριμένο τρίγωνο, αυτό το ελάχιστο είναι περίπου 34,0048.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 34 και βάλε

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 29, 2020 3:30 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 29, 2020 10:58 am
Να συμπληρώσω απλώς, ότι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων επιτυγχάνεται όταν S είναι το σημείο

\displaystyle {\rm{Lemoine}} του τριγώνου.Στο συγκεκριμένο τρίγωνο, αυτό το ελάχιστο είναι περίπου 34,0048.
Αν και δεν θυμάμαι ποιο είναι το σημείο \displaystyle {\rm{Lemoine}} του τριγώνου
με την απόδειξη που έγραψα παραπάνω μπορούμε να βρούμε ότι η ελάχιστη τιμή
είναι το
\frac{168^2}{830}
Αρκεί αντί C-S να κάνουμε την ταυτότητα του Lagrange.
Επίσης μπορούμε να βρούμε και ποιο είναι το σημείο.

Εκτός φακέλου
Ενδιαφέρον είναι να βρούμε και την μέγιστη τιμή όταν το σημείο είναι εντός του τριγώνου.
Αυτή είναι το τετράγωνο του μεγαλύτερου ύψους.
Το βλέπω ως εξής:
Εστω (x,y) τα σημεία του επιπέδου και f(x,y) είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από
τις πλευρές .
Η f(x,y) πανεύκολα (αν γνωρίζει κάποιος κυρτές πολλών μεταβλητών) είναι κυρτή.
Είναι γνωστό ότι οι κυρτές παίρνουν μέγιστη τιμή στο σύνορο.
Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι σε μια από τις κορυφές του τριγώνου.

Ερώτηση.
Υπάρχει καθαρά Γεωμετρική απόδειξη για το παραπάνω ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 34 και βάλε

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 29, 2020 4:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Μάιος 29, 2020 3:30 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 29, 2020 10:58 am
Να συμπληρώσω απλώς, ότι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων επιτυγχάνεται όταν S είναι το σημείο

\displaystyle {\rm{Lemoine}} του τριγώνου.Στο συγκεκριμένο τρίγωνο, αυτό το ελάχιστο είναι περίπου 34,0048.
Αν και δεν θυμάμαι ποιο είναι το σημείο \displaystyle {\rm{Lemoine}} του τριγώνου
Σημείο \displaystyle {\rm{Lemoine}} είναι το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων ενός τριγώνου και αν x, y, z είναι οι αποστάσεις του

από τις πλευρές a, b, c αντίστοιχα, τότε είναι: \displaystyle \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}. Η απόδειξη που γνωρίζω για το ελάχιστο άθροισμα

τετραγώνων, γίνεται (όπως γράφεις) με την ταυτότητα του \displaystyle {\rm{Lagrange}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης