Πλευρά και διχοτόμος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9231
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πλευρά και διχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 23, 2020 10:59 am

\bigstar Σε τρίγωνο ABC είναι c=4, b=8. Να βρείτε την τρίτη πλευρά a του τριγώνου

και τη διχοτόμο AD=d αν γνωρίζετε ότι d=k\sqrt a όπου a, k θετικοί ακέραιοι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1611
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Πλευρά και διχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μάιος 23, 2020 1:46 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Μάιος 23, 2020 10:59 am
\bigstar Σε τρίγωνο ABC είναι c=4, b=8. Να βρείτε την τρίτη πλευρά a του τριγώνου

και τη διχοτόμο AD=d αν γνωρίζετε ότι d=k\sqrt a όπου a, k θετικοί ακέραιοι.
Καλημέρα κ.Γιώργο.

Από την τριγωνική ανισότητα, c-b<a<c+b, άρα a \in (4,12).

Επίσης, είναι d=\sqrt{bc \cdot (1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2})}=\dfrac{\sqrt{288-2a^2}}{3}.

Συνεπώς, k^2a=d^2=\dfrac{288-2a^2}{9}, άρα k^2=\dfrac{288-2a^2}{9a}.
Τώρα, αρκεί να ελέγξουμε με το χέρι μερικές περιπτώσεις (το a \in \{5,6,7,8,9,10,11 \}, αλλά μπορούμε να δούμε ότι a \mid (288-2a^2), άρα a \mid 288 οπότε a \in \{6,8,9 \}), και έχουμε ως μόνη λύση την a=6,k=2, άρα d=2\sqrt{6}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7152
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πλευρά και διχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 23, 2020 11:46 pm

Προεκτείνω την AB\,\,, προς το B κατά BE = BD και ας είναι Z σημείο της AC με CZ = CD.

Τα τρίγωνα ADE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AZD έχουν προφανώς στο σημείο A ίσες τις γωνίες τους .

Επειδή \widehat {{E_{}}} = \dfrac{{\widehat {{B_{}}}}}{2}\,\,\left( 1 \right) και από το τρίγωνο ABD με εξωτερική την

\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{B_{}}} + \dfrac{{\widehat {{A_{}}}}}{2} \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} + 90^\circ  - \dfrac{{\widehat {{C_{}}}}}{2} = \widehat {{B_{}}} + \dfrac{{\widehat {{A_{}}}}}{2} \Rightarrow \,\widehat {{\theta _{}}} = \dfrac{{\widehat {{B_{}}}}}{2}\,\,\left( 2 \right), θα είναι: \boxed{\widehat {{E_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}} .

Δηλαδή τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια .
πλευρά και διχοτόμος.png
πλευρά και διχοτόμος.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AZ}} \Rightarrow A{D^2} = AE \cdot AZ\,\,\left( 3 \right) κι επειδή αν θέσω BD = x θα είναι DC = 2x έχω :

\boxed{a = 3x}. Βεβαίως πρέπει : 4 < 3x < 12 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} < x < 4 και η \left( 3 \right) δίδει :

{k^2}a = (4 + x)(8 - 2x) \Rightarrow \boxed{{k^2}a = 2(16 - {x^2})}\,\,\,\left( 4 \right) .

Ο {x^2} είναι ακέραιος από το σύνολο : A = \left\{ {2,3,...,\left. {15} \right\}} \right.

αλλά και ο 9{x^2} είναι τετράγωνο ακεραίου ενώ και το πρώτο μέλος της \left( 4 \right) είναι

γινόμενο: τετράγωνου ακεραίου επί ακέραιο οπότε αναγκαστικά :

{x^2} = 4\,,\,\,9{x^2} = 36 = {6^2} και έτσι {k^2} \cdot 6 = 24 = {2^2} \cdot 6 \Rightarrow k = 2.

Δηλαδή \boxed{AD = 2\sqrt 6 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,a = BC = 6}.

Παρατήρηση

Η \left( 4 \right) γράφεται : 2{x^2} + 3{k^2}x - 32 = 0 με θετική ρίζα: x = \dfrac{{ - 3{k^2} + \sqrt {9{k^4} + 256} }}{4}

που μόνο για k = 2 δίδει δεκτή ρίζα x = 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες