Λόγος και εφαπτομένη

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11879
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος και εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 17, 2020 12:14 pm

Λόγος  και εφαπτομένη.png
Λόγος και εφαπτομένη.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές
Σε τρίγωνο ABC , με : BC=3AB , εντοπίστε σημείο T της πλευράς AC ,

ώστε αν η διάμεσος AM τέμνει την BT στο σημείο S , να είναι : BS=4ST .

Αν επιπλέον : \hat{A}=90^0 , υπολογίστε την : \tan(\widehat{ASB}) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9793
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος και εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 17, 2020 1:30 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 17, 2020 12:14 pm
Λόγος και εφαπτομένη.png Σε τρίγωνο ABC , με : BC=3AB , εντοπίστε σημείο T της πλευράς AC ,

ώστε αν η διάμεσος AM τέμνει την BT στο σημείο S , να είναι : BS=4ST .

Αν επιπλέον : \hat{A}=90^0 , υπολογίστε την : \tan(\widehat{ASB}) .
Στο πρώτο ερώτημα αρκεί να πάρουμε \displaystyle AT = \frac{{AC}}{4} και ισχύει για κάθε τρίγωνο ανεξάρτητα από τη σχέση

BC=3AB. Πράγματι, με θεώρημα Μενελάου στο BTC και διατέμνουσα \displaystyle \overline {ASM} προκύπτει το ζητούμενο.
Λόγος και εφαπτομένη.Κ.png
Λόγος και εφαπτομένη.Κ.png (12.8 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
Θέτω AB=6k οπότε BM=MC=9k και με Πυθαγόρειο βρίσκω AC=12k\sqrt 2.

\displaystyle \tan \varphi  = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\tan \omega  = \tan B = 2\sqrt 2  \Rightarrow \tan (\varphi  + \omega ) = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2\sqrt 2 }}{{1 - 2}} =  - \frac{{5\sqrt 2 }}{2}

Αλλά, \displaystyle \theta  = 180^\circ  - (\omega  + \varphi ) \Leftrightarrow \boxed{ \tan \theta  = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7538
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος και εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Απρ 18, 2020 2:55 am

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου BC και ας είναι E το άλλο σημείο τομής της AT μ αυτό.

Από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle TBC με διατέμνουσα \overline {ASM} έχω:

\dfrac{{TS}}{{SB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AT}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{4} \cdot \efrac{{CA}}.{{AT}} = 1 \Rightarrow CA = 4AT \Rightarrow CT = 3TA.

Συνεπώς: \boxed{\dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{TC}}{{TA}} = \dfrac{1}{3}} Δηλαδή η BT είναι διχοτόμος του \vartriangle ABC.
λόγος και εφαπτομένη_3.png
λόγος και εφαπτομένη_3.png (29.47 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές
Θέτω AB = 2k \Rightarrow MB = 3k , αν δε N το σημείο τομής των AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME θα είναι:

\widehat {CME} = 2\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {MBA} και άρα ME//BA \Rightarrow MN = k, ενώ TN = AN - AT = AT.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ABT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NET είναι ίσα και το T είναι μέσο του BE.

Από το Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle TME θα είναι : T{M^2} = MN \cdot ME = 3{k^2} \Rightarrow \boxed{TM = k\sqrt 3 }\,\,\left( 1 \right)

Από το Π. Θ. στο \vartriangle TBM έχω: T{B^2} = M{B^2} - M{T^2} κι αν ST = x θα είναι, TB = 5x

και η προηγούμενη σχέση δίδει: 25{x^2} = 9{k^2} - 3{k^2} \Rightarrow \boxed{5x = 5ST = k\sqrt 6 }\,\,\left( 2 \right)

Από τις \left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) έχω: \boxed{\tan \theta  = \dfrac{{TM}}{{TS}} = \dfrac{{5k\sqrt 3 }}{{k\sqrt 6 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 1 επισκέπτης