Ώρα συνημιτόνου 7

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11776
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα συνημιτόνου 7

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm

Ώρα  συνημιτόνου.png
Ώρα συνημιτόνου.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Κατασκευάστε παραλληλόγραμμο ABCD , με AB=8 , AD=5 και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το B προς την AC , να διέρχεται από το μέσο M της DC .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : \cos\widehat{BAD} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 16, 2020 4:31 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο ABCD , με AB=8 , AD=5 και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το B προς την AC , να διέρχεται από το μέσο M της DC .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : \cos\widehat{BAD} .
Ώρα συνημιτόνου.7.png
Ώρα συνημιτόνου.7.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
\displaystyle \cos \omega  = \frac{7}{{20}}

edit: άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Μαρ 16, 2020 5:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1916
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Μαρ 16, 2020 5:13 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο ABCD , με AB=8 , AD=5 και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το B προς την AC , να διέρχεται από το μέσο M της DC .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : \cos\widehat{BAD} .
MC//AB\Rightarrow \dfrac{NC}{AN}=\dfrac{MN}{NB}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow AN=2NC,NB=2MN,

 MN^{2}+NC^{2}=16,(1),NC^{2}+NB^{2}=25,(2), (1),(2)

      \Rightarrow MN=\sqrt{3},

NC=\sqrt{13},cos\omega =cos(\hat{MCN}+\hat{NCB})=

       \dfrac{\sqrt{13}\sqrt{13}}{20}-\dfrac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{20}=

               \dfrac{7}{20}
Συνημμένα
Ωρα συνημιτόνου  7.png
Ωρα συνημιτόνου 7.png (32.73 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 16, 2020 6:23 pm

Ώρα συνημιτόνου.7β.png
Ώρα συνημιτόνου.7β.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
Κατασκευή: Με διάμετρο AB=8 γράφω ημικύκλιο που τέμνει τον κύκλο (B, 2\sqrt 3) στο K. Στην προέκταση της

BK θεωρώ σημείο M ώστε KM=\sqrt 3. Από το M φέρνω παράλληλη στην AB που τέμνει την AK στο C.

Αν D είναι το συμμετρικό του C ως προς M, τότε το ABCD είναι το ζητούμενο παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Εκ κατασκευής το M είναι μέσο του CD και BM\bot AC. Επίσης, \displaystyle \frac{{MC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow MC = 4,

άρα DC||=AB, οπότε το ABCD είναι παραλληλόγραμμο. Αρκεί να δείξω ότι BC=5.

Πράγματι, \displaystyle B{C^2} = B{K^2} + (M{C^2} - M{K^2}) =12+16-3= 25 \Leftrightarrow BC = 5.


Τέλος με νόμο συνημιτόνου στο τρίγωνο MBC, προκύπτει \boxed{\cos \omega  = \frac{7}{{20}}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1885
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 16, 2020 9:55 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο ABCD , με AB=8 , AD=5 και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το B προς την AC , να διέρχεται από το μέσο M της DC .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : \cos\widehat{BAD} .

Κατασκευή


Κατασκευάζουμε το τρίγωνο  DCN με CD=8,DN= \dfrac{15}{2} , CN= \dfrac{5}{2} κι έστω B συμμετρικό του  C ως προς N

Κατασευάζουμε τώρα το παραλ/μμο DCBA που είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη

Στο  \triangle DBC από κατασκευή το G=AC \cap DN είναι κ.βάρους του,άρα

 \dfrac{GN}{DN}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow  \dfrac{GN}{ \dfrac{15}{2} }= \dfrac{1}{3} \Rightarrow GN=2.5 = \dfrac{BC}{2}  \Rightarrow BM \bot AC

Με θ.διαμέσου στο  \triangle DCB \Rightarrow   DB^2=61 κι έπειτα με ν.συνημιτόνου στο ίδιο τρίγωνο  \Rightarrow cos \omega = \dfrac{7}{20}
ώρα συνημιτόνου 7.png
ώρα συνημιτόνου 7.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7441
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 17, 2020 4:06 am

Επειδή:

Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και πάσης

άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών θα είναι ίσα.

Έχω την παρακάτω κατασκευή .

Με διάμετρο \overline {ABS}  = 12 γράφω ημικύκλιο και τον κύκλο \left( {B,5} \right) που το τέμνει στο C.

Φέρνω AD// = BC κι έχω το ορθογώνιο που ζητώ .

(Δείτε και την άσκηση 4 από τις αποδεικτικές της παραγράφου 5.9 σελίδα 116 σχολικού)
Ωρα συνημιτόνου 7.png
Ωρα συνημιτόνου 7.png (37.98 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Υπολογισμός .

Αν T η προβολή του C στην BS από το Θ επέκτασης του Π. Θ. στο \vartriangle MBC έχω:

B{C^2} = M{B^2} + M{C^2} - 2MB \cdot ME \Rightarrow 25 = 9{m^2} + 16 - 6{m^2} \Rightarrow \,\,\,{m^2} = 3 .

Από το Π. Θ. στο \vartriangle EMC έχω: {y^2} = 16 - 3 = 13\,\,\,\left( 1 \right)

Αλλά : 2y \cdot 3y = 8\left( {x + 8} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \,\,\,\boxed{x = \frac{7}{4}} \Rightarrow \boxed{\cos \theta  = \frac{7}{{20}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης