Λόγος και εφαπτομένη

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11894
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος και εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 12, 2020 12:27 pm

Λόγος και  εφαπτομένη.png
Λόγος και εφαπτομένη.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=10 και μέσου M , ονομάζουμε N το μέσο της OM .

Έστω σημείο S της AO , ώστε : AS=4 . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TS}{TB} και την : \tan\theta



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος και εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 12, 2020 1:07 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 12, 2020 12:27 pm
Λόγος και εφαπτομένη.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=10 και μέσου M , ονομάζουμε N το μέσο της OM .

Έστω σημείο S της AO , ώστε : AS=4 . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TS}{TB} και την : \tan\theta

Έστω H η προβολή του T στη BC.
Λόγος και εφαπτομένη.png
Λόγος και εφαπτομένη.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Με Π. Θ βρίσκω \displaystyle BN = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}, ενώ \displaystyle BN \cdot NT = {R^2} - O{N^2} \Leftrightarrow TN = \frac{{3\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \boxed{BT = 4\sqrt 5} (1)

Είναι ακόμα, \displaystyle B{T^2} = BH \cdot BA \Leftrightarrow BH = 8 \Rightarrow SH = HA = 2. Άρα, \boxed{TS = TA = 2\sqrt 5 } (2)

Από (1) και (2), \boxed{\dfrac{TS}{TB}=\dfrac{1}{2}} Με νόμο συνημιτόνων τώρα στο TSB, \displaystyle \cos \theta  = \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\tan\theta=\dfrac{3}{4}}

Αλλιώς για το δεύτερο: \displaystyle TH = \sqrt {2 \cdot 8}  = 4,\tan \theta  = \tan \left( {H\widehat TB - H\widehat TS} \right) = \frac{{2 - \frac{1}{2}}}{{1 + 1}} = \frac{3}{4}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1910
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος και εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 12, 2020 3:21 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 12, 2020 12:27 pm
Λόγος και εφαπτομένη.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=10 και μέσου M , ονομάζουμε N το μέσο της OM .

Έστω σημείο S της AO , ώστε : AS=4 . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TS}{TB} και την : \tan\theta
  tan \phi = \dfrac{ON}{OB}= \dfrac{1}{2}= \dfrac{TC}{AC}= \dfrac{TA}{TB}

 TC^2=AC . CB \Rightarrow 4AC^2=AC(10-AC) \Rightarrow AC=2 \Rightarrow CS=2 άρα AT=TS

Έτσι  \dfrac{TS}{TB}= \dfrac{TA}{TB} = \dfrac{1}{2}

 tan( \theta + \phi )=tanTSA=tanA=cot \phi =2 \Rightarrow  \dfrac{tan \theta +tan \phi }{1-tan \theta tan \varphi } =2 και με  tan \phi = \dfrac{1}{2} έχουμε  tan \theta = \dfrac{3}{4}
Λόγος και εφαπτομένη.png
Λόγος και εφαπτομένη.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες