Σελίδα 1 από 1

Συνθήκη παραλληλίας 2

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 2:02 pm
από george visvikis
Με αφορμή αυτήν

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι IH||BC (I,H, έγκεντρο και ορθόκεντρο αντίστοιχα).

Να δείξετε ότι \displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 2\cos B\cos C

Re: Συνθήκη παραλληλίας 2

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 5:04 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
george visvikis έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 2:02 pm
Με αφορμή αυτήν

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι IH||BC (I,H, έγκεντρο και ορθόκεντρο αντίστοιχα).

Να δείξετε ότι \displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 2\cos B\cos C
Καλησπέρα!
226.PNG
226.PNG (23.88 KiB) Προβλήθηκε 74 φορές
Έστω D\equiv AH\cap BC,L\equiv BH\cap AC,K\equiv AI\cap BC

Είναι \Delta BHD\sim \Delta BLC\Leftrightarrow DH=\dfrac{LC\cdot BD}{BL}=\dfrac{a\cos \angle C\cdot c\cos\angle B}{a\sin\angle C}=\dfrac{c}{\sin\angle C}\cos\angle B\cos\angle C
Όμως \dfrac{c}{\sin \angle C}=2R οπότε αφού HI\parallel BC\Leftrightarrow HD=r είναι:
r=2R\cos\angle B\cos\angle C\Leftrightarrow \dfrac{r}{R}=2\cos\angle B\cos\angle C
Το ζητούμενο είναι τώρα άμεσο από την σχέση \cos \angle A + \cos \angle B + \cos \angle C=1+\dfrac{r}{R}

Re: Συνθήκη παραλληλίας 2

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 7:15 pm
από Doloros
Πρώτα-πρώτα τα θερμά μου συγχαρητήρια, στον νεαρό Φωτιάδη. για την πρόκριση στον διαγωνισμό "Αρχιμήδης"

Σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει : \boxed{\cos A + \cos B + \cos C - 1 = \frac{r}{R}}\,\,\,\left( 1 \right).

Όπου R,r οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αυτού.

Επειδή \widehat {{A_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{C_{}}} = \widehat {{\omega _{}}} έχω :
Συνθήκη παραλληλίας 2.png
Συνθήκη παραλληλίας 2.png (30.31 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \cos \theta  = \frac{{OM}}{R} \hfill \\ 
  \cos \omega  = \frac{{TE}}{{BT}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \cos A = \frac{{AH}}{{2R}} \hfill \\ 
  \cos C = \frac{{HE}}{{BH}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AH = 2R\cos A \hfill \\ 
  BH = 2R\cos B \hfill \\ 
  \cos C = \frac{r}{{2R\cos B}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{r = 2R\cos B\cos C\,\,\left( 2 \right)}

Από τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) έχω το ζητούμενο .