Σελίδα 1 από 1

Κριθαράτος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 30, 2020 1:33 pm
από KARKAR
Κριθαράτος  λόγος.png
Κριθαράτος λόγος.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Από την κορυφή A , παραλληλογράμμου ABCD φέρω τμήματα AS , AT κάθετα προς τις προεκτάσεις

των πλευρών CB , CD αντίστοιχα . Αν AB=a , AD=b , βρείτε το σύνολο τιμών του λόγου : \dfrac{SD}{TB}

Re: Κριθαράτος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 30, 2020 7:14 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 1:33 pm
Κριθαράτος λόγος.pngΑπό την κορυφή A , παραλληλογράμμου ABCD φέρω τμήματα AS , AT κάθετα προς τις προεκτάσεις

των πλευρών CB , CD αντίστοιχα . Αν AB=a , AD=b , βρείτε το σύνολο τιμών του λόγου : \dfrac{SD}{TB}

Έστω AS=x, τότε \displaystyle bx = aAT \Leftrightarrow AT = \frac{{bx}}{a} και \displaystyle \frac{{SD}}{{TB}} = f(x) = \frac{{a\sqrt {{x^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{b^2}{x^2} + {a^4}} }},0 < x < a

\displaystyle f'(x) = \frac{{ax({a^4} - {b^4})}}{{\sqrt {{x^2} + {b^2}} {{\left( {\sqrt {{b^2}{x^2} + {a^4}} } \right)}^3}}}, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα όταν a>b, γνησίως φθίνουσα όταν a<b

και σταθερή όταν a=b. \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \frac{b}{a},\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = 1

\displaystyle  \bullet Αν a>b, το σύνολο τιμών είναι \displaystyle \left( {\frac{b}{a},1} \right)

\displaystyle  \bullet Αν a<b, το σύνολο τιμών είναι \displaystyle \left( {1,\frac{b}{a}} \right)

\displaystyle  \bullet Αν a=b, ο λόγος παίρνει την μοναδική τιμή 1.