Ώρα εφαπτομένης 12

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11362
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 12

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 26, 2020 10:31 am

Ώρα  εφαπτομένης 30.png
Ώρα εφαπτομένης 30.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Στην πλευρά AB=a , τετραγώνου ABCD , κινείται σημείο S και έστω AS=x , (0<x<a) .

Φέρω AT\perp DS . Υπολογίστε την \tan\theta  , ( \theta=\widehat{DTC} ) . Αν a=1 , δείξτε ότι : \tan\theta >e^x :!:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 12

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 26, 2020 12:46 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 10:31 am
Ώρα εφαπτομένης 30.pngΣτην πλευρά AB=a , τετραγώνου ABCD , κινείται σημείο S και έστω AS=x , (0<x<a) .

Φέρω AT\perp DS . Υπολογίστε την \tan\theta  , ( \theta=\widehat{DTC} ) . Αν a=1 , δείξτε ότι : \tan\theta >e^x :!:
Ώρα εφαπτομένης.12.png
Ώρα εφαπτομένης.12.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
\displaystyle \frac{{MS}}{a} = \frac{{TS}}{{TD}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow MS = \frac{{{x^2}}}{a} \Rightarrow MB = \frac{{{x^2}}}{a} + a - x = \frac{{{x^2} + {a^2} - ax}}{a}

\displaystyle \theta  = \omega  + \varphi  \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{\tan \omega  + \tan \varphi }}{{1 - \tan \omega \tan \varphi }} = \frac{{\frac{x}{a} + \frac{{{x^2} + {a^2} - ax}}{{{a^2}}}}}{{1 - \frac{{x({x^2} + {a^2} - ax)}}{{{a^3}}}}} \Leftrightarrow

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{a{x^2} + {a^3}}}{{{a^3} - {x^3} - {a^2}x + a{x^2}}} = \frac{{a({x^2} + {a^2})}}{{a({x^2} + {a^2}) - x({a^2} + {x^2})}} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \dfrac{a}{{a - x}}}

Για a=1 είναι \tan \theta  = \dfrac{1}{1 - x}. Θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle f(x) = {e^x}(1-x) - 1,0 \le x < 1

\displaystyle f'(x) =  - x{e^x} < 0, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε \displaystyle f(0) \ge f(x) \Leftrightarrow 0 \ge {e^x}(1 - x) - 1

και για x>0 είναι \displaystyle \frac{1}{{1 - x}} > {e^x} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  > {e^x}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 12

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 26, 2020 2:14 pm

Ωρα εφαπτομένης 12.png
Ωρα εφαπτομένης 12.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Αν η AT συναντήσει την BC στο E ως γνωστό \vartriangle ADS = \vartriangle BAE \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  BE = AS = x \hfill \\ 
  EC = a - x \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Επειδή το τετράπλευρο DTEC είναι εγγράψιμο , \boxed{\tan \theta  = \dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{a}{{a - x}}}

Για το β ερώτημα τα είπε πολύ ωραία ο Γιώργος .


Εναλλακτικά

Είναι επέκταση της θεωρίας ότι : {e^x} \geqslant x + 1\,\,,x \in \mathbb{R} . Το «ίσον» ισχύει για x = 0.

Έτσι {e^{ - x}} > 1 - x\,\,\,,x \ne 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{e^x}}} > 1 - x\,\,\,\,(1) και αν x \in \left( {0,1} \right) θα είναι 1 - x > 0 και η (1) δίδει :

\boxed{{e^x} < \frac{1}{{1 - x}} \Rightarrow \tan \theta  > {e^x}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης