Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Προεκτείνω την πλευρά AB=a

, τετραγώνου ABCD

κατά τμήμα BS=ka

. Σημείο

κινείται επί της

και έστω

η προβολή του στην

. Υπολογίστε το : $(ATPD)_{max}$ .

Υπάρχει τιμή του

για την οποία το εμβαδόν μεγιστοποιείται , όταν το

συμπέσει με το

;

#2

Καλησπέρα σε όλους.

: 17-01-2020 Maximum.png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Έστω

.

Οπότε $\displaystyle SC:y = - \frac{1}{k}x + a$ . Έστω $\displaystyle P\left( {t,\;\frac{{ak - t}}{k}} \right) \Rightarrow T\left( {t,\;0} \right)$ , οπότε

$\displaystyle \left( {ATPD} \right) = \frac{{a + \frac{{ak - t}}{k}}}{2}\left( {t + a} \right) = \frac{{\left( {2ak - t} \right)\left( {t + a} \right)}}{{2k}} = \frac{{ - {t^2} + \left( {2k - 1} \right)at + 2{a^2}k}}{{2k}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( t \right) = - {t^2} + \left( {2k - 1} \right)at + 2{a^2}k,\;\;t \in \left[ {0,\;ka} \right]$ έχει παράγωγο

$\displaystyle f'\left( t \right) = - 2t + \left( {2k - 1} \right)a$ , οπότε μεγιστοποιείται για $\displaystyle t = \frac{{\left( {2k - 1} \right)a}}{2}$ , άρα $\displaystyle {\left( {ATPD} \right)_{\max }} = \frac{{{{\left( {2k + 1} \right)}^2}{a^2}}}{{8k}}$ .

2ο ερώτημα: To DAS

έχει εμβαδόν $\displaystyle \left( {DAS} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right){a^2}}}{2},\;k > 0$ , οπότε όταν αυξάνει το

, αυξάνει και το εμβαδόν.

edit: Μετά από διευκρίνηση του (εορτάζοντος σήμερα) Θανάση, δίνω άλλη απάντηση στο 2ο ερώτημα:

Όταν το τραπέζιο εκφυλισθεί στο τρίγωνο ASD

, το εμβαδόν του γίνεται $\displaystyle \left( {DAS} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right){a^2}}}{2},\;k > 0$ .

Το εμβαδόν του ASCD

είναι $\displaystyle \left( {ASCD} \right) = {a^2} + \frac{{ka \cdot a}}{2} = \frac{{\left( {k + 2} \right){a^2}}}{2}$ ,

οπότε $\displaystyle \left( {DCP} \right) = \left( {ASCD} \right) - \left( {DAS} \right) = \frac{{\left( {k + 2} \right){a^2}}}{2} - \frac{{\left( {k + 1} \right){a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}$ , σταθερό, οπότε δεν υπάρχει τιμή του

για την οποία να μεγιστοποιείται το DAS

ως προς το ASCD

.
Δείτε και το σχετικό αρχείο ggb.

Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

Re: Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

Μέλη σε σύνδεση