Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 17, 2020 2:17 pm

Μεγιστοποίηση  τραπεζίου.png
Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Προεκτείνω την πλευρά AB=a , τετραγώνου ABCD κατά τμήμα BS=ka . Σημείο P

κινείται επί της CS και έστω T η προβολή του στην BS . Υπολογίστε το : (ATPD)_{max} .

Υπάρχει τιμή του k για την οποία το εμβαδόν μεγιστοποιείται , όταν το P συμπέσει με το S ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση τραπεζίου 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 17, 2020 8:40 pm

Καλησπέρα σε όλους.


17-01-2020 Maximum.png
17-01-2020 Maximum.png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

Έστω B(0,0), A(-a, 0), C(0, a), D(-a,a), S(ka, 0), k, a>0.

Οπότε  \displaystyle SC:y =  - \frac{1}{k}x + a . Έστω  \displaystyle P\left( {t,\;\frac{{ak - t}}{k}} \right) \Rightarrow T\left( {t,\;0} \right) , οπότε

 \displaystyle \left( {ATPD} \right) = \frac{{a + \frac{{ak - t}}{k}}}{2}\left( {t + a} \right) = \frac{{\left( {2ak - t} \right)\left( {t + a} \right)}}{{2k}} = \frac{{ - {t^2} + \left( {2k - 1} \right)at + 2{a^2}k}}{{2k}} .

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( t \right) =  - {t^2} + \left( {2k - 1} \right)at + 2{a^2}k,\;\;t \in \left[ {0,\;ka} \right] έχει παράγωγο

 \displaystyle f'\left( t \right) =  - 2t + \left( {2k - 1} \right)a , οπότε μεγιστοποιείται για  \displaystyle t = \frac{{\left( {2k - 1} \right)a}}{2} , άρα  \displaystyle {\left( {ATPD} \right)_{\max }} = \frac{{{{\left( {2k + 1} \right)}^2}{a^2}}}{{8k}} .


2ο ερώτημα: To DAS έχει εμβαδόν  \displaystyle \left( {DAS} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right){a^2}}}{2},\;k > 0 , οπότε όταν αυξάνει το k, αυξάνει και το εμβαδόν.

edit: Μετά από διευκρίνηση του (εορτάζοντος σήμερα) Θανάση, δίνω άλλη απάντηση στο 2ο ερώτημα:

Όταν το τραπέζιο εκφυλισθεί στο τρίγωνο ASD, το εμβαδόν του γίνεται  \displaystyle \left( {DAS} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right){a^2}}}{2},\;k > 0 .

Το εμβαδόν του ASCD είναι  \displaystyle \left( {ASCD} \right) = {a^2} + \frac{{ka \cdot a}}{2} = \frac{{\left( {k + 2} \right){a^2}}}{2} ,

οπότε  \displaystyle \left( {DCP} \right) = \left( {ASCD} \right) - \left( {DAS} \right) = \frac{{\left( {k + 2} \right){a^2}}}{2} - \frac{{\left( {k + 1} \right){a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} , σταθερό, οπότε δεν υπάρχει τιμή του k για την οποία να μεγιστοποιείται το DAS ως προς το ASCD.
Δείτε και το σχετικό αρχείο ggb.
Συνημμένα
17-01-2020 Maximum.ggb
(14.68 KiB) Μεταφορτώθηκε 6 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης