Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 08, 2019 2:19 pm

Αλληλοεπικαλυπτόμενα  παραλληλόγραμμα.png
Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Τα τετράπλευρα ABCD και BEZD είναι παραλληλόγραμμα . Η ZC τέμνει την προέκταση

της πλευράς AB στο σημείο S . Δείξτε ότι η AE διέρχεται από το μέσο M , του τμήματος ZS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Οκτ 08, 2019 3:37 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 08, 2019 2:19 pm
Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα.pngΤα τετράπλευρα ABCD και BEZD είναι παραλληλόγραμμα . Η ZC τέμνει την προέκταση

της πλευράς AB στο σημείο S . Δείξτε ότι η AE διέρχεται από το μέσο M , του τμήματος ZS .
Έστω L\equiv ZE\cap AB
Από το θεώρημα Μενελάου στο ZSL διατέμνουσας \overline{AME}:\dfrac{MS}{MZ}\cdot \dfrac{EZ}{EL}\cdot \dfrac{AL}{LS}=1\Leftrightarrow \dfrac{MS}{MZ}=\dfrac{BL}{AL}\cdot \dfrac{AS}{AB}(1)
Είναι όμως
\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AZ}{AD}=\dfrac{AL}{BL} και έτσι από την (1) είναι MS=MZ
145.PNG
145.PNG (13.71 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 08, 2019 6:07 pm

Από το Zφέρνω παράλληλη ευθεία στην AB που τέμνει την BE στο F και την AE στο T.

Θέτω : AB = a,\,BD = b,\,CE = u\,\,,\,BS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TF = y

α) Τα τρίγωνα DBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZET είναι ίσα γιατί έχουν DB// = ZE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC// = ZT και άρα θα έχουν BC = ET = k.
Το ένα πάνω στ άλλο.png
Το ένα πάνω στ άλλο.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
α) Από τις ομοιότητες : \vartriangle CBS \approx \vartriangle CTB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ETF \approx \vartriangle EBA έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BS}}{{ZT}} = \frac{{BC}}{{CT}} \hfill \\ 
  \frac{{TF}}{{AB}} = \frac{{TE}}{{EB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{a} = \frac{k}{{k + u}} \hfill \\ 
  \frac{y}{a} = \frac{y}{{k + u}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = y}.

Έτσι , AS// = ZF που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ASFZ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς οι διαγώνιοι του διχοτομούνται


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 08, 2019 6:58 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 08, 2019 2:19 pm
Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα.pngΤα τετράπλευρα ABCD και BEZD είναι παραλληλόγραμμα . Η ZC τέμνει την προέκταση

της πλευράς AB στο σημείο S . Δείξτε ότι η AE διέρχεται από το μέσο M , του τμήματος ZS .
Επικαλ.  παραλληλογράμμα.png
Επικαλ. παραλληλογράμμα.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Φέρνω από το B παράλληλη στην ZS που τέμνει την AE στο N και την AZ στο P. Προφανώς το PZCB

είναι παραλληλόγραμμο, άρα \displaystyle PZ = BC = AD \Rightarrow AP|| = DZ ||= BE, οπότε και το APEB είναι

παραλληλόγραμμο. Επομένως, το N είναι μέσο του BP, άρα και το M μέσο του ZC.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1062
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 09, 2019 2:43 am

Καλημέρα! Με χρήση του σχήματος
Α.Π  KARKAR.PNG
Α.Π KARKAR.PNG (7.46 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
Τα P,H είναι τα μέσα των AZ,CE με AZ \parallel  EC.

Τότε , ως γνωστόν , η PH διέρχεται από την τομή M των διαγωνίων AE,ZC του τραπεζίου ZECA

Αν BC=AD=a...BE=DZ=b τότε AP=\dfrac{a+b}{2} και BH=a+\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{a+b}{2}

άρα AP= \parallel BH και το BAPH παραλληλόγραμμο.

Έτσι PMH \parallel  ABS και στο τρίγωνο ZAS με το P μέσον της AZ έπεται και M μέσον της ZS. Φιλικά , Γιώργος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Οκτ 09, 2019 11:48 am

Ας είναι AB=a,AD=b,DZ=d,EI=b, τότε το AZIB είναι παραλληλόγραμο και η AE

τέμνει τη ZI στο σημείο J.

DC//AS,\dfrac{a}{a+BS}=\dfrac{d}{d+b}\Leftrightarrow BS=\dfrac{ad}{b},(*)

Από τα όμοια τρίγωνα EIJ,AEB,IJ=\dfrac{ab}{d},(**),

 (*),(**)\Rightarrow IJ=BS,IJ//BS,

Δηλαδή το IJSB,είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς και το ZJSA είναι

παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι διχοτομούνταο άρα ZM=MS
Συνημμένα
Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα.png
Αλληλοεπικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα.png (58.47 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης