Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat

Συντονιστές: silouan, rek2

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2019 11:05 pm

Ως γνωστόν, ο Wiles απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat, δηλαδή ότι η εξίσωση x^n+y^n=z^n με n\ge 3 δεν έχει λύση στους θετικούς ακεραίους, και ότι η απόδειξη είναι απίστευτα δύσκολη.

Ας του βάλουμε τα ... γυαλιά:

Δείξτε στα γρήγορα (δυο τρεις γραμμές σχολικού επιπέδου) ότι η εν λόγω εξίσωση πράγματι δεν έχει λύση στους θετικούς ακεραίους αν ακόμη απαιτήσουμε 1\le x \le n, \, 1\le y \le n.

Όχι παίζουμε κύριε Wiles.

Σχόλιο: Ουσιαστικά το έχουμε δει στο forum (λίγο αλλιώτικο) αλλά ας κάνουμε ότι δεν το θυμόμαστε. Ο ίδιος το είχα ξεχάσει, αλλά το βρήκα με search. Η επαναφορά του είναι χρήσιμη στους μαθητές μας.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 566
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Οκτ 04, 2019 11:50 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 11:05 pm
Ως γνωστόν, ο Wiles απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat, δηλαδή ότι η εξίσωση x^n+y^n=z^n με n\ge 3 δεν έχει λύση στους θετικούς ακεραίους, και ότι η απόδειξη είναι απίστευτα δύσκολη.

Ας του βάλουμε τα ... γυαλιά:

Δείξτε στα γρήγορα (δυο τρεις γραμμές σχολικού επιπέδου) ότι η εν λόγω εξίσωση πράγματι δεν έχει λύση στους θετικούς ακεραίους αν ακόμη απαιτήσουμε 1\le x \le n, \, 1\le y \le n.

Όχι παίζουμε κύριε Wiles.

Σχόλιο: Ουσιαστικά το έχουμε δει στο forum (λίγο αλλιώτικο) αλλά ας κάνουμε ότι δεν το θυμόμαστε. Ο ίδιος το είχα ξεχάσει, αλλά το βρήκα με search. Η επαναφορά του είναι χρήσιμη στους μαθητές μας.
Υποθέτουμε το αντίθετο, δηλαδή ότι υπάρχουν λύσεις της ζητούμενης μορφής. Τότε αν χωρίς βλάβη x \ge y πρέπει z \ge (x+1). Έχουμε πως (x+1)^n \le z^n = x^n+y^n \le 2x^n \leftrightarrow (1+\dfrac{1}{x})^n \le 2. Απο Bernouli όμως (1+\dfrac{1}{x})^n \ge 1+\dfrac{n}{x} \ge 2, με ισότητα ανν x=1 και n=1 που προφανώς είναι άτοπο. Άρα δεν έχουμε λύσεις.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 05, 2019 12:24 am

Θαυμάσια.

Η μικρή παραλλαγή που έλεγα, εδώ.

Και μία παραλλαγή της λύσης: Χωρίς βλάβη x\ge y. Έστω λοιπόν n\ge x. Τώρα, επειδή z>x έχουμε z\ge x+1, οπότε από το ανάπτυγμα διωνύμου

z^n \ge (x+1)^n = x^n+nx^{n-1}+... > x^n+nx^{n-1} \ge x^n+x^{n}\ge x^n+y^{n}, άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης