Μεγιστοποίηση τραπεζίου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (9.71 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Επί του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημεία S,T

, τέτοια ώστε : $\overset{\frown}{AS}=\overset{\frown}{TB}$ και

ονομάζουμε S' , T'

τις προβολές τους στην

. Η

τέμνει την

στο σημείο

.

Ενδιαφερόμαστε για την μεγιστοποίηση του εμβαδού του τραπεζίου T'S'SP

...

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:18 pm
Μεγιστοποίηση τραπεζίου.pngΕπί του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε : $\overset{\frown}{AS}=\overset{\frown}{TB}$ και

ονομάζουμε τις προβολές τους στην . Η τέμνει την στο σημείο .

Ενδιαφερόμαστε για την μεγιστοποίηση του εμβαδού του τραπεζίου ...

Έστω

και

η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Προφανώς, OT'=x.

: Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

$\displaystyle \frac{{PT'}}{x} = \frac{x}{{OS'}} \Leftrightarrow PT' = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}$ και $\displaystyle T'S' = \sqrt {{R^2} - {x^2}} - x$

$\displaystyle (T'S'SP) = E(x) = \frac{{PT' + SS'}}{2} \cdot T'S' = \frac{{xR\left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}} + x} \right)}}{{2\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}\left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}} - x} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle E(x) = \frac{{x\left( {{R^2} - 2{x^2}} \right)}}{{2\sqrt {{R^2} - {x^2}} }},$ με παράγωγο $\displaystyle E'(x) = \frac{{4{x^4} - 6{R^2}{x^2} + {R^4}}}{{2\sqrt {{{({R^2} - {x^2})}^3}} }}$

Έχουμε λοιπόν για $\boxed{ x = \frac{{R\sqrt {3 - \sqrt 5 } }}{2}}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{ {E_{\max }} = \frac{{{R^2}}}{4}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sqrt {\sqrt 5 - 2}}$

kkala · #3

Ένας (φαινομενικά τουλάχιστον) άλλος τρόπος λύσης με χρήση τριγωνομετρίας.
Γίνεται αναφορά στο προηγούμενο σχήμα της # 2, με τη σημείωση ότι γων ΒΟΤ=γων ΟΤΤ΄=θ
Εμβαδόν τραπεζίου (T΄S΄SP) =Ε(θ) = (OSS΄) – (OPT΄) (διαφορά εμβαδών δύο τριγώνων).
(OSS΄) = 0.5R(Rcosθ)sinθ, δηλαδή $\tiny (OSS')=$ $\tiny 0.25R^{2}sin2\theta$
(OPT΄) = 0.5(OT΄)(OP)sinθ = 0.5(Rsinθ)(Rsinθ/cosθ)sinθ = $\tiny 0.5R^{2}sin^{3}\theta /cos\theta$ (ορθογώνια τρίγωνα ΟΤΤ΄ και OPT΄).
$\tiny E(\theta )=0.5R^{2}(sin\theta cos\theta -sin^{3}\theta /cos\theta )$ = $0.5R^{2}tan\theta cos2\theta$
Η πρώτη παράγωγος της Ε(θ) είναι είναι $0.5R^{2}(1-tan^{2}\theta -4sin^{2}\theta )$ , που μηδενίζεται για $sin^{2}\theta =(3\pm \sqrt{5})/4$ , με δεκτή τιμή (θ στο πρώτο τεταρτημόριο) $sin\theta =0.5\sqrt{3-\sqrt{5}}$ . (θ = περίπου 25.91 μοίρες).
Η δεύτερη παράγωγος $-R^{2}(tan\theta /cos^{2}\theta )+4sin\theta cos\theta )$ είναι αρνητική για κάθε θ (στο πρώτο τεταρτημόριο).
Άρα για την ευρεθείσα τιμή $\theta =\arcsin 0.5\sqrt{3-\sqrt{5}}$ το Ε(θ) έχει μέγιστο, που είναι
$max E =0.5R^{2}\sqrt{\sqrt{5}-2}((\sqrt{5}-1)/2) = 0.15014R^{2}$ . Τούτο είναι ίδιο με της # 2 (george visvikis).

Μεγιστοποίηση τραπεζίου

Μεγιστοποίηση τραπεζίου

Re: Μεγιστοποίηση τραπεζίου

Re: Μεγιστοποίηση τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση