Μεγιστοποίηση τραπεζίου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12521
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση τραπεζίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Οκτ 04, 2019 12:18 pm

Μεγιστοποίηση  τραπεζίου.png
Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (9.71 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές
Επί του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , θεωρούμε σημεία S,T , τέτοια ώστε : \overset{\frown}{AS}=\overset{\frown}{TB} και

ονομάζουμε S' , T' τις προβολές τους στην OA . Η TT' τέμνει την OS στο σημείο P .

Ενδιαφερόμαστε για την μεγιστοποίηση του εμβαδού του τραπεζίου T'S'SP ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση τραπεζίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 05, 2019 9:44 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 12:18 pm
Μεγιστοποίηση τραπεζίου.pngΕπί του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , θεωρούμε σημεία S,T , τέτοια ώστε : \overset{\frown}{AS}=\overset{\frown}{TB} και

ονομάζουμε S' , T' τις προβολές τους στην OA . Η TT' τέμνει την OS στο σημείο P .

Ενδιαφερόμαστε για την μεγιστοποίηση του εμβαδού του τραπεζίου T'S'SP ...
Έστω SS'=x και R η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Προφανώς, OT'=x.

Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png
Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές
\displaystyle \frac{{PT'}}{x} = \frac{x}{{OS'}} \Leftrightarrow PT' = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }} και \displaystyle T'S' = \sqrt {{R^2} - {x^2}}  - x

\displaystyle (T'S'SP) = E(x) = \frac{{PT' + SS'}}{2} \cdot T'S' = \frac{{xR\left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}}  + x} \right)}}{{2\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}\left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}}  - x} \right) \Leftrightarrow

\displaystyle E(x) = \frac{{x\left( {{R^2} - 2{x^2}} \right)}}{{2\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}, με παράγωγο \displaystyle E'(x) = \frac{{4{x^4} - 6{R^2}{x^2} + {R^4}}}{{2\sqrt {{{({R^2} - {x^2})}^3}} }}

Έχουμε λοιπόν για \boxed{ x = \frac{{R\sqrt {3 - \sqrt 5 } }}{2}} μέγιστη τιμή ίση με \boxed{ {E_{\max }} = \frac{{{R^2}}}{4}\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sqrt {\sqrt 5  - 2}}


kkala
Δημοσιεύσεις: 146
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Μεγιστοποίηση τραπεζίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Πέμ Νοέμ 14, 2019 5:13 pm

Ένας (φαινομενικά τουλάχιστον) άλλος τρόπος λύσης με χρήση τριγωνομετρίας.
Γίνεται αναφορά στο προηγούμενο σχήμα της # 2, με τη σημείωση ότι γων ΒΟΤ=γων ΟΤΤ΄=θ
Εμβαδόν τραπεζίου (T΄S΄SP) =Ε(θ) = (OSS΄) – (OPT΄) (διαφορά εμβαδών δύο τριγώνων).
(OSS΄) = 0.5R(Rcosθ)sinθ, δηλαδή \tiny (OSS')=\tiny 0.25R^{2}sin2\theta
(OPT΄) = 0.5(OT΄)(OP)sinθ = 0.5(Rsinθ)(Rsinθ/cosθ)sinθ =\tiny 0.5R^{2}sin^{3}\theta /cos\theta (ορθογώνια τρίγωνα ΟΤΤ΄ και OPT΄).
\tiny E(\theta )=0.5R^{2}(sin\theta cos\theta -sin^{3}\theta /cos\theta ) = 0.5R^{2}tan\theta cos2\theta
Η πρώτη παράγωγος της Ε(θ) είναι είναι 0.5R^{2}(1-tan^{2}\theta -4sin^{2}\theta ), που μηδενίζεται για sin^{2}\theta =(3\pm \sqrt{5})/4, με δεκτή τιμή (θ στο πρώτο τεταρτημόριο) sin\theta =0.5\sqrt{3-\sqrt{5}} . (θ = περίπου 25.91 μοίρες).
Η δεύτερη παράγωγος -R^{2}(tan\theta /cos^{2}\theta )+4sin\theta cos\theta ) είναι αρνητική για κάθε θ (στο πρώτο τεταρτημόριο).
Άρα για την ευρεθείσα τιμή \theta =\arcsin 0.5\sqrt{3-\sqrt{5}} το Ε(θ) έχει μέγιστο, που είναι
max E =0.5R^{2}\sqrt{\sqrt{5}-2}((\sqrt{5}-1)/2) = 0.15014R^{2}. Τούτο είναι ίδιο με της # 2 (george visvikis).


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης