Δύναμη του τρία;

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 982
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Δύναμη του τρία;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Σεπ 15, 2019 11:43 am

Μπορεί η τιμή της έκφρασης 2x^2+3xy+y^2 για τους θετικούς ακέραιους x και y, να ισούται με 3^{2019};

Για "Θαλή"



Λέξεις Κλειδιά:
Summand
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: Δύναμη του τρία;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Δευ Σεπ 16, 2019 5:26 am

Καλησπέρα!


Η απάντηση είναι όχι!


Η προς απόδειξη σχέση γράφεται (x+y)(2x+y)=3^{2019}.


Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό w=x+y καταλήγουμε στην w(w+x)=3^{2019} άρα πρέπει καθένας εκ των w,w+x

να είναι δύναμη του 3.


Αφού x,y>0 είναι w>0 και w+x>w.


Έστω, λοιπόν, w=3^n,w+x=3^{n+k} για κάποιους n,k\in \mathbb{N}(\ast )


Από την (*) έχουμε ότι x=3^{n+k}-3^n\Leftrightarrow x=3^n(3^k-1) (\bigstar )


Όμως x+y=w άρα από τις (\bigstar ),(\ast ) έχουμε ότι 3^n(3^k-1)+y=3^n\Leftrightarrow y=3^n(2-3^k)<0

που είναι άτοπο αφού από την εκφώνηση x,y>0


Γενικά για κάθε εξίσωση της μορφής t(t+s)=3^m με t=r+s για κάποιους m,r,s,t \in \mathbb{N} δεν έχουμε ακέραιες

λύσεις αφού για t=3^a, t+s=3^{a+j} με a,j\in \mathbb{N} καταλήγουμε ότι s<0 ανεξάρτητα από την τιμή του m.


Φιλικά,
Γιάννης Ν.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δύναμη του τρία;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 16, 2019 12:11 pm

Summand έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 5:26 am
Καλησπέρα!


Η απάντηση είναι όχι!


Η προς απόδειξη σχέση γράφεται (x+y)(2x+y)=3^{2019}.

Κάπως πιο σύντομα από εδώ. Πρέπει τα x+y,2x+y να είναι και τα δύο δυνάμεις του 3. Αλλά x+y < 2x+y < 3(x+y), άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες