Σελίδα 1 από 1

Ομοκυκλικά και τόπος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 7:58 pm
από KARKAR
Ομοκυκλικά  και  τόπος.png
Ομοκυκλικά και τόπος.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Το σημείο S κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος AB . Με διαμέτρους AS,SB γράφουμε

στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλια και σχεδιάζουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους PT . Α) Δείξτε ότι

τα σημεία A,P,T,B είναι ομοκυκλικά ... Β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του PT .

Re: Ομοκυκλικά και τόπος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 10:01 pm
από jimth
Έστω C και D τα μέσα των AS και SB αντίστοιχα. Φέρνουμε τισ CP, PS, ST και TD. Είναι:
\widehat{CPS}=\widehat{CSP}, \widehat{STD}=\widehat{DST}, \widehat{CPS}+\widehat{SPT}=90^{\circ}, \widehat{DTS}+\widehat{STP}=90^{\circ}, \widehat{PSC}+\widehat{PST}+\widehat{TSB}=180^{\circ}
και παίρνουμε \widehat{PST}=90^{\circ} , \widehat{SPT}+\widehat{PTS}=90^{\circ}=\widehat{PAB}+\widehat{BTD} .
Το APTB είναι εγγράψιμο, επειδή \widehat{PAB}+\widehat{PTB}=180^{\circ} και επομένως τα A,P,T,B είναι ομοκυκλικά.

Re: Ομοκυκλικά και τόπος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 10:26 pm
από Doloros
Η ευθεία SM είναι ο ριζικός άξονας των δύο ημικυκλίων .

Επειδή , \widehat {APS} = \widehat {STB} = 90^\circ και \boxed{SM = \frac{{PT}}{2}} αν οι AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT τέμνονται στο C το ττετράπλευρο SPCT είναι ορθογώνιο και στο ορθογώνιο τρίγωνο CAB το M είναι

το μέσο του ύψους του CS. Άμεσες συνέπειες:

α) \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat \theta  \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat \theta  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}} και άρα το τετράπλευρο APTB είναι εγγράψιμμο.

Ομοκυκλικά και τόπος.png
Ομοκυκλικά και τόπος.png (39.72 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

β) Άν σε ημικύκλιο διαμέτρου AB μεταβλητό σημείο του C

προβάλλεται στη διάμετρο στο S, κάθε εσωτερικό σταθερό σημείο, M, του

ST διαγράφει ημιέλλειψη, εδώ το μέσο M θα διαγράφει ημιέλλειψη με

μεγάλο άξονα AB και μικρό το μισό του AB.


Παρατήρηση :
Αν OA = OB = a και C(k,m)\,\,,\,\,M(x,y) με k,m,x,y > 0 θα ισχύουν :

\left\{ \begin{gathered} 
  {k^2} + {m^2} = {a^2} \hfill \\ 
  x = k \hfill \\ 
  y = \frac{m}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {k^2} + {m^2} = {a^2} \hfill \\ 
  x = k \hfill \\ 
  m = 2y \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = {a^2}
Έλλειψη απο κύκλο.png
Έλλειψη απο κύκλο.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
Άρα \boxed{\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} = 1}

Εστίες : \boxed{{E_1}\left( { - \dfrac{a}{2}\sqrt 3 ,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{E_2}\left( {\dfrac{a}{2}\sqrt 3 ,0} \right)\,}