Ώρα για εφαπτόμενες

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10921
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα για εφαπτόμενες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 03, 2019 7:15 pm

Ώρα  για  εφαπτόμενες.png
Ώρα για εφαπτόμενες.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Το σημείο M είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB . Από το A φέραμε

την εφαπτομένη AT του ημικυκλίου διαμέτρου OM , η οποία τέμνει το μεγάλο

ημικύκλιο στο σημείο S . Υπολογίστε τις : \tan\phi , \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 03, 2019 10:32 pm

Ας είναι: Kτο κέντρο του μικρού ημικυκλίου , D το σημείο τομής των ευθειών AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OM. Έστω ακόμα E η τομή των ευθειών TK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB.

Θέτω: την μεγάλη ακτίνα με R = 6k\,\,\,\,\,(k > 0\,\,)\,\,,\,\,OE = x\,\,,\,EK = y\,\,,\,\,SD = u

\Επειδή \widehat {{\phi _1}} = \widehat \phi θα είναι \boxed{\tan \phi  = \tan {\phi _1} = \frac{{OK}}{{OA}} = \frac{1}{2}}

Πάμε τώρα στην δύσκολη εφαπτομένη. Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων TAE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OKE έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  x(x + 6k) = y(y + 3k) \hfill \\ 
  \frac{{3k}}{{6k}} = \frac{x}{{y + 3k}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 4k \hfill \\ 
  y = 5k \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Αφού δε τα τρίγωνα : OKE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TKD είναι ίσα θα είναι TD = 4k\,\,,\,\,KD = 5k\,\,,\,\,MD = 2k\,\,,\,\,AD = 10k,\,\,OD = 8k.
'Ωρα για εφαπτομένες_ok.png
'Ωρα για εφαπτομένες_ok.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Από τη δύναμη του D ως προς το μεγάλο ημικύκλιο έχω: \boxed{u = \frac{{14k}}{5}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{TS = \frac{{6k}}{5}}

Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  AS \cdot AD = \left( {6k + \frac{{6k}}{5}} \right)10k = 72{k^2} \hfill \\ 
  A{M^2} = {\left( {6k\sqrt 2 } \right)^2} = 72{k^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Θα είναι : AS \cdot AD = A{M^2} άρα η AM εφάπτεται του κύκλου (D,S,M) και έτσι \boxed{\widehat \omega  = \widehat D \Rightarrow \tan \omega  = \tan D = \frac{{OA}}{{OD}} = \frac{3}{4}}

Αλλά \theta  = 90^\circ  + \omega  \Rightarrow \boxed{\tan \theta  =  - \frac{4}{3}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 04, 2019 10:16 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Σεπ 03, 2019 7:15 pm
Ώρα για εφαπτόμενες.pngΤο σημείο M είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB . Από το A φέραμε

την εφαπτομένη AT του ημικυκλίου διαμέτρου OM , η οποία τέμνει το μεγάλο

ημικύκλιο στο σημείο S . Υπολογίστε τις : \tan\phi , \tan\theta .

Αλλιώς για το δεύτερο.
Ώρα για εφαπτόμενες.png
Ώρα για εφαπτόμενες.png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές
\displaystyle \omega  = 180^\circ  - \theta  \Leftrightarrow 180^\circ  - 2T\widehat OA = 180^\circ  - \theta  \Leftrightarrow \theta  = 2T\widehat OA = 180^\circ  - 2\varphi

\displaystyle \tan \theta  =  - \tan 2\varphi  =  - \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \theta  =  - \frac{4}{3}}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Σεπ 06, 2019 10:49 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Σεπ 04, 2019 3:12 pm

Αλλιώς για το 2ο:

Εστω D το σημείο τομής των AT,OK

Θετω

OA=R, OK=R/2=r

Ο κύκλος (O,r) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADB

Εστω x=AD=BD

Από τύπους εμβαδού τριγώνου και το πυθαγόρειο θεώρημα:

5.gif
5.gif (5.08 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Σεπ 04, 2019 3:20 pm

Καλησπέρα σε όλους!

Στη διαμόρφωση του μηνύματός μου έκανα κάτι που δεν ξέρω αν επιτρέπεται από τον κανονισμό του mathematica.

Επειδή δεν εμφανίζεται ο κώδικας latex με το συμβατικό τρόπο, αποθήκευσα τον κώδικα latex ως εικόνα και μετά έκανα επισύναψη.

Αν υπάρχει πρόβλημα , θα αποσύρω το μήνυμά μου και θα το ξαναδημοσιεύσω αφού διορθωθεί το πρόβλημα με το latex.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης