Γωνιώδης αναζήτηση

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10587
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γωνιώδης αναζήτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm

Γωνιώδης  αναζήτηση.png
Γωνιώδης αναζήτηση.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
Στην προέκταση της ακτίνας OA τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} θεωρούμε σημείο S και έστω T ,

η τομή του τόξου με την SB . Αν BT=2 και TS=7 , υπολογίστε το : \sin(\widehat{TAO}) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 23, 2019 2:57 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm
Στην προέκταση της ακτίνας OA τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} θεωρούμε σημείο S και έστω T ,

η τομή του τόξου με την SB . Αν BT=2 και TS=7 , υπολογίστε το : \sin(\widehat{TAO}) .
shape.png
shape.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές
Συμπληρώνω το ημικύκλιο, θέτω R την ακτίνα, x = AS και φέρω TD \bot CS

Από δύναμη σημείου και Π.Θ. στο  \triangleleft BOS προκύπτει το σύστημα:

\left\{ \begin{array}{l} 
63 = x(x + 2R)\\ 
81 = {R^2} + {\left( {x + R} \right)^2} 
\end{array} \right.

με λύση (R,x) = \left( {3,\,6\sqrt 2  - 3} \right)

Από  \triangleleft STA \sim  \triangleleft SCB \Rightarrow \dfrac{{AT}}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{7}{{6\sqrt 2  + 3}} \Leftrightarrow AT = 4 - \sqrt 2 και από  \triangleleft STD \sim  \triangleleft SBO \Rightarrow TD = \dfrac{7}{3}

Έτσι, \sin \theta  = \dfrac{{TD}}{{AT}} = \dfrac{{4 + \sqrt 2 }}{6}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7998
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 23, 2019 6:40 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm
Γωνιώδης αναζήτηση.pngΣτην προέκταση της ακτίνας OA τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} θεωρούμε σημείο S και έστω T ,

η τομή του τόξου με την SB . Αν BT=2 και TS=7 , υπολογίστε το : \sin(\widehat{TAO}) .
Γωνιώδης αναζήτηση.Κ.png
Γωνιώδης αναζήτηση.Κ.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
Με Πυθαγόρειο στο BOS και \displaystyle {\rm{Stewart}} στο ίδιο τρίγωνο με τέμνουσα OT έχουμε:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^2} + 2Rx = 81 - 2{R^2}\\ 
\\ 
{x^2} + 2Rx = 63 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{R=3} και \boxed{x=3(2\sqrt 2-1)}

N. Ημιτόνων στο ATS, \displaystyle \frac{7}{{\sin (180^\circ  - \theta )}} = \frac{x}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{{7\sqrt 2 }}{{6(2\sqrt 2  - 1)}} \Leftrightarrow \boxed{\sin \theta  = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6463
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 23, 2019 8:38 pm

Γωνιώδης αναζήτηση.png
Γωνιώδης αναζήτηση.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές

Ας είναι D το αντιδιαμετρικό του B. Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ODST έχω:

2 \cdot 9 = 2{R^2} \Rightarrow \boxed{R = 3} . Είναι \boxed{\sin \omega  = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos \omega  = \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}.

Επειδή \theta  = \omega  + 45^\circ  \Rightarrow \sin \theta  = \sin \omega \cos 45^\circ  + \cos \omega \sin 45^\circ , Δηλαδή:

\boxed{\sin \theta  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2  + 4}}{6}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1579
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 23, 2019 10:15 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm
Γωνιώδης αναζήτηση.pngΣτην προέκταση της ακτίνας OA τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} θεωρούμε σημείο S και έστω T ,

η τομή του τόξου με την SB . Αν BT=2 και TS=7 , υπολογίστε το : \sin(\widehat{TAO}) .

Με \displaystyle SE \bot CB \Rightarrow \angle ECS = \angle ESC = {45^0} κι επειδή οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ,θα είναι και οι κόκκινες

Άρα , \displaystyle {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2 \cdot 9 \Rightarrow \boxed{R = 3}.Ακόμη \displaystyle AB//SE \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{6}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow \boxed{x = \sqrt 2  \cdot y}

\displaystyle x\left( {x + 6} \right) = 63 \Rightarrow \boxed{x = 6\sqrt 2  - 3} \Rightarrow \boxed{y = \frac{{6 - 3\sqrt 2 }}{2}} \Rightarrow \boxed{EC = ES = \frac{{12 + 3\sqrt 2 }}{2}}

Άρα, \displaystyle \boxed{\sin \theta  = \frac{{ES}}{{9}} = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}}
Γωνιώδης αναζήτηση.png
Γωνιώδης αναζήτηση.png (18.59 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης