Γωνιώδης αναζήτηση

KARKAR · #1

: Γωνιώδης αναζήτηση.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας

τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο

και έστω

,

η τομή του τόξου με την

. Αν

και

, υπολογίστε το : $\sin(\widehat{TAO})$ .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm
Στην προέκταση της ακτίνας τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο και έστω ,

η τομή του τόξου με την . Αν και , υπολογίστε το : $\sin(\widehat{TAO})$ .

: shape.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Συμπληρώνω το ημικύκλιο, θέτω

την ακτίνα, x = AS

και φέρω $TD \bot CS$

Από δύναμη σημείου και Π.Θ. στο $\triangleleft BOS$ προκύπτει το σύστημα:

$\left\{ \begin{array}{l} 63 = x(x + 2R)\\ 81 = {R^2} + {\left( {x + R} \right)^2} \end{array} \right.$

με λύση $(R,x) = \left( {3,\,6\sqrt 2 - 3} \right)$

Από $\triangleleft STA \sim \triangleleft SCB \Rightarrow \dfrac{{AT}}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{7}{{6\sqrt 2 + 3}} \Leftrightarrow AT = 4 - \sqrt 2$ και από $\triangleleft STD \sim \triangleleft SBO \Rightarrow TD = \dfrac{7}{3}$

Έτσι, $\sin \theta = \dfrac{{TD}}{{AT}} = \dfrac{{4 + \sqrt 2 }}{6}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm
Γωνιώδης αναζήτηση.pngΣτην προέκταση της ακτίνας τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο και έστω ,

η τομή του τόξου με την . Αν και , υπολογίστε το : $\sin(\widehat{TAO})$ .

: Γωνιώδης αναζήτηση.Κ.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

Με Πυθαγόρειο στο BOS

και $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο ίδιο τρίγωνο με τέμνουσα

έχουμε:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2Rx = 81 - 2{R^2}\\ \\ {x^2} + 2Rx = 63 \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{R=3}$ και $\boxed{x=3(2\sqrt 2-1)}$

N. Ημιτόνων στο ATS,

$\displaystyle \frac{7}{{\sin (180^\circ - \theta )}} = \frac{x}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{7\sqrt 2 }}{{6(2\sqrt 2 - 1)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin \theta = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}}$

#4

: Γωνιώδης αναζήτηση.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

. Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ODST

έχω:

$2 \cdot 9 = 2{R^2} \Rightarrow \boxed{R = 3}$ . Είναι $\boxed{\sin \omega = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos \omega = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}$ .

Επειδή $\theta = \omega + 45^\circ \Rightarrow \sin \theta = \sin \omega \cos 45^\circ + \cos \omega \sin 45^\circ$ , Δηλαδή:

$\boxed{\sin \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 + 4}}{6}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 1:29 pm
Γωνιώδης αναζήτηση.pngΣτην προέκταση της ακτίνας τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο και έστω ,

η τομή του τόξου με την . Αν και , υπολογίστε το : $\sin(\widehat{TAO})$ .

Με $\displaystyle SE \bot CB \Rightarrow \angle ECS = \angle ESC = {45^0}$ κι επειδή οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ,θα είναι και οι κόκκινες

Άρα , $\displaystyle {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2 \cdot 9 \Rightarrow \boxed{R = 3}$ .Ακόμη $\displaystyle AB//SE \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{6}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow \boxed{x = \sqrt 2 \cdot y}$

$\displaystyle x\left( {x + 6} \right) = 63 \Rightarrow \boxed{x = 6\sqrt 2 - 3} \Rightarrow \boxed{y = \frac{{6 - 3\sqrt 2 }}{2}} \Rightarrow \boxed{EC = ES = \frac{{12 + 3\sqrt 2 }}{2}}$

Άρα, $\displaystyle \boxed{\sin \theta = \frac{{ES}}{{9}} = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}}$

: Γωνιώδης αναζήτηση.png (18.59 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Γωνιώδης αναζήτηση

Γωνιώδης αναζήτηση

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

Μέλη σε σύνδεση