Ειδικό τετράπλευρο

#1

: Ειδικό τετράπλευρο..png (14.37 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Στο τετράπλευρο ABCD

του σχήματος, εκτός από τις ονομασίες των γωνιών, δίνονται επιπλέον ότι $AB=8, AC\bot CD,$

$CD=\dfrac{BC}{2}$ και $\displaystyle \cos \omega = \frac{{EC}}{{EB}}.$ Να βρείτε τα μήκη των πλευρών BC, CD, AD

και το μήκος της διαγωνίου AC.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 6:02 pm
Ειδικό τετράπλευρο..png

Στο τετράπλευρο του σχήματος, εκτός από τις ονομασίες των γωνιών, δίνονται επιπλέον ότι $AB=8, AC\bot CD,$

$CD=\dfrac{BC}{2}$ και $\displaystyle \cos \omega = \frac{{EC}}{{EB}}.$ Να βρείτε τα μήκη των πλευρών και το μήκος της διαγωνίου

Εστω $BC=a,CD=\dfrac{a}{2},AC=b$ και $IJ\perp AC,AJ=JC$
αν

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{IAC}$ τότε $\hat{IAE}=\hat{EAC}=\theta ,\hat{AIB}=4\theta =\hat{ABI}$

Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $IAC,\dfrac{IE}{8}=\dfrac{EC}{b}=\dfrac{IE+EC}{8+b}=\dfrac{8}{8+b}\Rightarrow EC=\dfrac{8b}{8+b},(1)$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ACD,AD^{2}=\dfrac{4b^{2}+a^{2}}{4},(2)$

Θ. Stweart

στο τρίγωνο $ABC,(a-8).b^{2}+8.8^{2}=a[8^{2}+8(a-8)]\Leftrightarrow b^{2}=8(a+8),(3), (2),(3)\Rightarrow AD=\dfrac{a}{2}=8, cos\omega =\dfrac{EC}{a-EC}=\dfrac{b}{AD}\Rightarrow EC=\dfrac{2ab}{a+16+2b},(4), (1),(4)\Rightarrow a(8+b)=4(a+16+2b),(5),$

Από το σύστημα $(3),(5)\Rightarrow b^{2}-4b-96=0,b=12,a=10, BC=10,AD=13,CD=5,AC=12$

Γιάννης

#3

Στα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AEC$ η μια γωνία είναι διπλάσια της άλλης . Θέτω

$CD = k\,\,,\,\,BE = x,\,\,EC = y \Rightarrow x + y = 2k \Leftrightarrow \boxed{y = 2k - x}\,\,(*)$

Έχω τώρα από το $\vartriangle ABC$ : ${b^2} - 64 = 16k \Leftrightarrow {b^2} = 16k + 64\,\,\,(1)$

Έτσι στο $\vartriangle ACD$ από το Π. Θ. έχω: $AD = k + 8\,\,\,(2)$ .

Επειδή $\dfrac{y}{x} = \dfrac{b}{{k + 8}} \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{x} = \dfrac{{b + k + 8}}{{k + 8}} \Rightarrow \dfrac{{2k}}{x} = \dfrac{{b + k + 8}}{{k + 8}}$ και άρα

$\boxed{x = \frac{{2k(k + 8)}}{{k + 8 + 4\sqrt {k + 4} }}}\,\,\,(3)$

: Ειδικό τετράπλευρο.png (21.85 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Από το τρίγωνο AEC

: $A{E^2} - {y^2} = by$ και από το Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ABE$ έχω:

$A{E^2} = {8^2} + {x^2} - 2x \cdot 8\cos 4\theta$ άρα λόγω της προηγούμενης έχω την εξίσωση :

$\boxed{{y^2} + by = {8^2} + {x^2} - 2x \cdot 8\cos 4\theta }\,\,(4)$

Αλλά από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω: $\cos 2\theta = \dfrac{{\sqrt {k + 4} }}{4} \Rightarrow \cos 4\theta = \dfrac{{k - 4}}{8}$

Έτσι η $(4)\,\,$ και λόγω των $(*)\,\,,\,\,(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)$ Η εξίσωση γίνεται

$16(k + 4)\left( {3 - \sqrt {k + 4} } \right) = 0 \Rightarrow k = 5$ τα υπόλοιπα απλά

Ειδικό τετράπλευρο

Ειδικό τετράπλευρο

Re: Ειδικό τετράπλευρο

Re: Ειδικό τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση