Ειδικό τετράπλευρο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ειδικό τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 22, 2019 6:02 pm

Ειδικό τετράπλευρο..png
Ειδικό τετράπλευρο..png (14.37 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD του σχήματος, εκτός από τις ονομασίες των γωνιών, δίνονται επιπλέον ότι AB=8, AC\bot CD,

CD=\dfrac{BC}{2} και \displaystyle \cos \omega  = \frac{{EC}}{{EB}}. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών BC, CD, AD και το μήκος της διαγωνίου AC.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1867
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ειδικό τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Μάιος 16, 2019 2:47 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 6:02 pm
Ειδικό τετράπλευρο..png

Στο τετράπλευρο ABCD του σχήματος, εκτός από τις ονομασίες των γωνιών, δίνονται επιπλέον ότι AB=8, AC\bot CD,

CD=\dfrac{BC}{2} και \displaystyle \cos \omega  = \frac{{EC}}{{EB}}. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών BC, CD, AD και το μήκος της διαγωνίου AC.
Εστω BC=a,CD=\dfrac{a}{2},AC=b και IJ\perp AC,AJ=JC
αν AE είναι η διχοτόμος της γωνίας \hat{IAC} τότε \hat{IAE}=\hat{EAC}=\theta ,\hat{AIB}=4\theta =\hat{ABI}

Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο IAC,\dfrac{IE}{8}=\dfrac{EC}{b}=\dfrac{IE+EC}{8+b}=\dfrac{8}{8+b}\Rightarrow EC=\dfrac{8b}{8+b},(1)

Στο ορθογώνιο τρίγωνοACD,AD^{2}=\dfrac{4b^{2}+a^{2}}{4},(2)

Θ.Stweart στο τρίγωνο ABC,(a-8).b^{2}+8.8^{2}=a[8^{2}+8(a-8)]\Leftrightarrow b^{2}=8(a+8),(3), (2),(3)\Rightarrow AD=\dfrac{a}{2}=8, 

      cos\omega =\dfrac{EC}{a-EC}=\dfrac{b}{AD}\Rightarrow EC=\dfrac{2ab}{a+16+2b},(4), (1),(4)\Rightarrow 

        a(8+b)=4(a+16+2b),(5),

Από το σύστημα (3),(5)\Rightarrow b^{2}-4b-96=0,b=12,a=10, BC=10,AD=13,CD=5,AC=12


Γιάννης
Συνημμένα
Ειδικό τετράπλευρο.png
Ειδικό τετράπλευρο.png (60.9 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ειδικό τετράπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 17, 2019 4:21 am

Στα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AEC η μια γωνία είναι διπλάσια της άλλης . Θέτω

CD = k\,\,,\,\,BE = x,\,\,EC = y \Rightarrow x + y = 2k \Leftrightarrow \boxed{y = 2k - x}\,\,(*)

Έχω τώρα από το \vartriangle ABC: {b^2} - 64 = 16k \Leftrightarrow {b^2} = 16k + 64\,\,\,(1)

Έτσι στο \vartriangle ACD από το Π. Θ. έχω: AD = k + 8\,\,\,(2).

Επειδή \dfrac{y}{x} = \dfrac{b}{{k + 8}} \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{x} = \dfrac{{b + k + 8}}{{k + 8}} \Rightarrow \dfrac{{2k}}{x} = \dfrac{{b + k + 8}}{{k + 8}} και άρα

\boxed{x = \frac{{2k(k + 8)}}{{k + 8 + 4\sqrt {k + 4} }}}\,\,\,(3)
Ειδικό τετράπλευρο.png
Ειδικό τετράπλευρο.png (21.85 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Από το τρίγωνο AEC: A{E^2} - {y^2} = by και από το Θ συνημίτονου στο \vartriangle ABE έχω:

A{E^2} = {8^2} + {x^2} - 2x \cdot 8\cos 4\theta άρα λόγω της προηγούμενης έχω την εξίσωση :


\boxed{{y^2} + by = {8^2} + {x^2} - 2x \cdot 8\cos 4\theta }\,\,(4)

Αλλά από Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ABCέχω: \cos 2\theta  = \dfrac{{\sqrt {k + 4} }}{4} \Rightarrow \cos 4\theta  = \dfrac{{k - 4}}{8}

Έτσι η (4)\,\, και λόγω των (*)\,\,,\,\,(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) Η εξίσωση γίνεται

16(k + 4)\left( {3 - \sqrt {k + 4} } \right) = 0 \Rightarrow k = 5 τα υπόλοιπα απλά


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης