Εκνευριστικές συναρτήσεις

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10874
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εκνευριστικές συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 04, 2019 8:23 pm

Εκνευριστικές  συναρτήσεις.png
Εκνευριστικές συναρτήσεις.png (9.9 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές
Το ύψος AD= h , του τριγώνου \displaystyle ABC , είναι σταθερό και το ορθόκεντρο του τριγώνου

είναι το μέσο του AD , ονομαζόμενο M . Η κορυφή B μετακινείται και έστω BD=x .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου MDC συναρτήσει του x .

β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(AEM)}{(MDC)} συναρτήσει του x . Εφαρμογή : x=\dfrac{h}{3}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 05, 2019 12:06 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 04, 2019 8:23 pm
Εκνευριστικές συναρτήσεις.pngΤο ύψος AD= h , του τριγώνου \displaystyle ABC , είναι σταθερό και το ορθόκεντρο του τριγώνου

είναι το μέσο του AD , ονομαζόμενο M . Η κορυφή B μετακινείται και έστω BD=x .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου MDC συναρτήσει του x .

β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(AEM)}{(MDC)} συναρτήσει του x . Εφαρμογή : x=\dfrac{h}{3}
Το ύψος τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο S (αφού δεν το χρησιμοποίησε ο θεματοδότης το έβαλα εγώ :lol: )
Εκνευριστικές συναρτήσεις.png
Εκνευριστικές συναρτήσεις.png (23.07 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
α) Ως γνωστόν είναι, DS=DM=\dfrac{h}{2} και \displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DS \Leftrightarrow x(a - x) = \frac{{{h^2}}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{{{h^2} + 2{x^2}}}{{2x}}

\displaystyle (MDC) = \frac{1}{2}(a - x)\frac{h}{2} \Leftrightarrow \boxed{(MDC)= \frac{{{h^3}}}{{8x}}}

β) \displaystyle AE \cdot AB = \frac{{{h^2}}}{2} \Leftrightarrow AE = \frac{{{h^2}}}{{2AB}} \Leftrightarrow AE = \frac{{{h^2}}}{{2\sqrt {{h^2} + {x^2}} }}

\displaystyle \frac{{(AEM)}}{{(MDC)}} = \frac{{A{E^2}}}{{{{(a - x)}^2}}} \Leftrightarrow ... \boxed{\frac{(AEM)}{(MDC)}= \frac{{{x^2}}}{{{h^2} + {x^2}}}} και για x=\dfrac{h}{3}, \boxed{\frac{(AEM)}{(MDC)}=\frac{1}{10}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4413
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μαρ 05, 2019 7:25 pm

Καλησπέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά από τη λύση του Γιώργου.


05-03-2019 Γεωμετρία.jpg
05-03-2019 Γεωμετρία.jpg (25.13 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές


Θέτω (BD)=a, a>0 αντί για (BD) = x.

Έστω D(0,0), A(0,h), M(0, h/2), h > 0 και B(-a, 0), a > 0.

Τότε  \displaystyle AB:\;\;y = \frac{h}{a}x + h,\;\;\;EC:\;\;y =  - \frac{a}{h}x + \frac{h}{2} , άρα  \displaystyle C\left( {\frac{{{h^2}}}{{2a}},\;0} \right) .

Οπότε  \displaystyle \left( {MDC} \right) = \frac{1}{2}MD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{{{h^2}}}{{2a}} = \frac{{{h^3}}}{{8a}} .

Είναι  \displaystyle {\left( {MC} \right)^2} = {\left( {\frac{{{h^2}}}{{2a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = \frac{{{h^2}\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}}{{4{a^2}}} , οπότε, λόγω της ομοιότητας είναι

 \displaystyle \frac{{(AEM)}}{{(MDC)}} = {\left( {\frac{{AM}}{{MC}}} \right)^2} = \frac{{\frac{{{h^2}}}{4}}}{{\frac{{{h^2}\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}}{{4{a^2}}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2} + {a^2}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 05, 2019 7:55 pm

Προφανώς \vartriangle DCM \approx \vartriangle DAB\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DCM \approx \vartriangle EAM\,. Θέτω DC = y κι έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{DM}}{{DB}} \hfill \\ 
  \frac{{AM}}{{MC}} = \lambda  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{y}{h} = \frac{{\frac{h}{2}}}{x} \hfill \\ 
  \frac{{A{M^2}}}{{M{C^2}}} = {\lambda ^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{{{h^2}}}{{2x}} \hfill \\ 
  {\lambda ^2} = \frac{{\frac{{{h^2}}}{4}}}{{\frac{{{h^2}}}{4} + {y^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Έτσι :
εκνευριστικές συναρτήσεις.png
εκνευριστικές συναρτήσεις.png (13.94 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
α) \boxed{(MDC) = \frac{1}{2}DC \cdot DM = \frac{1}{2}y\frac{h}{2} = \frac{{{h^3}}}{{8x}}} , ενώ

β) \boxed{\frac{{(AEM)}}{{(MDC)}} = {\lambda ^2} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {h^2}}}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1679
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μαρ 06, 2019 12:11 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 04, 2019 8:23 pm
Εκνευριστικές συναρτήσεις.pngΤο ύψος AD= h , του τριγώνου \displaystyle ABC , είναι σταθερό και το ορθόκεντρο του τριγώνου

είναι το μέσο του AD , ονομαζόμενο M . Η κορυφή B μετακινείται και έστω BD=x .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου MDC συναρτήσει του x .

β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(AEM)}{(MDC)} συναρτήσει του x . Εφαρμογή : x=\dfrac{h}{3}

Είναι \displaystyle \left( {ABC} \right) = 2S + \left( {ABD} \right) \Rightarrow \frac{{ah}}{2} = 2S + \frac{{xh}}{2} \Rightarrow S = \frac{{h\left( {a - x} \right)}}{4}

Αλλά \displaystyle \tan \theta  = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{MD}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{a - x}}{h} = \frac{{\frac{h}{2}}}{x} \Rightarrow a - x = \frac{{{h^2}}}{{2x}}.Άρα \displaystyle \boxed{S = \left( {MDC} \right) = \frac{{{h^3}}}{{8x}}}

Είναι \displaystyle M{C^2} = \frac{{{h^2}}}{4} + {\left( {a - x} \right)^2} = \frac{{{h^2}}}{4} + \frac{{{h^4}}}{{4{x^2}}} και \displaystyle \frac{{\left( {AEM} \right)}}{{\left( {MDC} \right)}} = \frac{{A{M^2}}}{{M{C^2}}} = \frac{{\frac{{{h^2}}}{4}}}{{\frac{{{h^2}}}{4} + \frac{{{h^4}}}{{4{x^2}}}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {AEM} \right)}}{{\left( {MDC} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {h^2}}}}
εκνευριστικές συναρτήσεις.png
εκνευριστικές συναρτήσεις.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες