Ελάχιστη γωνία

KARKAR · #1

: Ελάχιστη γωνία.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Το τμήμα

είναι παράλληλο προς την

. Φέρουμε τις εφαπτόμενες των ίσων

τεταρτοκυκλίων , οι οποίες τέμνονται στο

. Βρείτε το ελάχιστο της $\widehat{PSQ}$ .

Altrian · #2

Καλησπέρα Θανάση.

SPDQ

εγγράψιμο άρα $\angle FDO=\angle S=\angle a+\angle b$ . $KL\geq h_{a}+h_{b}=r\Rightarrow KL_{min}=r$
Τότε $\triangle OKL$ ισόπλευρο, άρα $\angle a+\angle b=60$ (που είναι η ελάχιστη ζητούμενη γωνία)

KARKAR · #3

: Ελάχιστη γωνία.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Αλέξανδρε , εκπληκτική λύση ! Φαντάστηκα μία , με ταλαίπωρη ανάλυση : Θεωρώντας για ευκολία r=1

,

έχουμε : $\sin\phi=k , \cos\phi=\sqrt{1-k^2}$ και $\sin\omega=1-k , \cos\omega=\sqrt{2k-k^2$ , οπότε :

$\sin\theta=\sin(\phi+\omega)=k\sqrt{2k-k^2}+(1-k)\sqrt{1-k^2}=f(k) , 0<k<1$ .

Η συνάρτηση

, παρουσιάζει ελάχιστο για : $k=\dfrac{1}{2}$ , το $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , οπότε $\theta=60^0$ .

Ελάχιστη γωνία

Ελάχιστη γωνία

Re: Ελάχιστη γωνία

Re: Ελάχιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση