Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm

Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.png
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.png (8.09 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές
Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το A

και παράλληλη προς την υποτείνουσα CB , θεωρούμε σημείο S , ώστε : CS=CB .

Υπολογίστε το τμήμα AS , συναρτήσει της πλευράς AB=a και της \tan\theta



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Φεβ 28, 2019 9:03 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το A

και παράλληλη προς την υποτείνουσα CB , θεωρούμε σημείο S , ώστε : CS=CB .

Υπολογίστε το τμήμα AS , συναρτήσει της πλευράς AB=a και της \tan\theta
Γράφω μια σύντομη λύση με "δημιουργική ασάφεια"

\dfrac{{AS}}{{\sin \theta }} = \dfrac{{SC}}{{\sin {{135}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2a \Rightarrow AS = 2a\sin \theta  = 2a\dfrac{{\tan \theta }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } }}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 28, 2019 9:47 pm

Χμ ... Με ευθύνη του θεματοδότη το ζητούμενο , που είναι το μήκος του τμήματος ,

παραπέμφθηκε στις ... καλένδες . Να βρεθεί , λοιπόν , το μήκος του AS .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Φεβ 28, 2019 10:34 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:47 pm
Χμ ... Με ευθύνη του θεματοδότη το ζητούμενο , που είναι το μήκος του τμήματος ,

παραπέμφθηκε στις ... καλένδες . Να βρεθεί , λοιπόν , το μήκος του AS .
Το πιο σωστό ζητούμενο Θανάση νομίζω ότι είναι : Να δειχθεί ότι \theta  = {15^0} (που είναι "παιδικό" ;) )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 01, 2019 6:42 am

Κι όμως Στάθη , ο στόχος είναι να βρεθεί το μήκος του τμήματος , στην απλούστερη δυνατή μορφή .

Όταν βρεθεί ( με "σκληρή" αριθμητική ) , ίσως εξηγηθεί και το "ολίσθημα " του θεματοδότη ...


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μαρ 01, 2019 7:35 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 01, 2019 6:42 am
Κι όμως Στάθη , ο στόχος είναι να βρεθεί το μήκος του τμήματος , στην απλούστερη δυνατή μορφή .

Όταν βρεθεί ( με "σκληρή" αριθμητική ) , ίσως εξηγηθεί και το "ολίσθημα " του θεματοδότη ...
Συνεχίζοντας τη "δημιουργική ασάφεια" ...AS = a\sqrt 2 \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2}

(προσέξτε τη ΔΙΑΦΟΡΑ) ;)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 01, 2019 9:02 am

Μήπως ζητάς αυτό Θανάση;
f(a, tanθ).png
f(a, tanθ).png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές
\displaystyle A{S^2} = AD \cdot AB = {a^2}\tan \theta  \Leftrightarrow \boxed{AS = a\sqrt {\tan \theta } }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 01, 2019 12:39 pm

...και επειδή \theta=15^0 είναι τελικά : AS=a\sqrt{2-\sqrt{3}} .

Χρησιμοποιήθηκαν οι ( αναπόδεικτες ) πληροφορίες των δύο φερέλπιδων λυτών :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 01, 2019 2:14 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 01, 2019 12:39 pm
...και επειδή \theta=15^0 είναι τελικά : AS=a\sqrt{2-\sqrt{3}} .

Χρησιμοποιήθηκαν οι ( αναπόδεικτες ) πληροφορίες των δύο φερέλπιδων λυτών :lol:
Ας αποδείξουμε λοιπόν ότι \theta=15^\circ (που δικαιολογεί τις γωνίες των 30^\circ στο προηγούμενο σχήμα μου).
f(a, tanθ).β.png
f(a, tanθ).β.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές
Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο BCE και εύκολα τα τρίγωνα CAE, BAE προκύπτουν ίσα και \displaystyle E\widehat CA = E\widehat BA = 15^\circ.

Τα αμβλυγώνια τρίγωνα CAE, CAS έχουν CE=CS την CA κοινή και \displaystyle C\widehat AE = C\widehat AS = 135^\circ οπότε \boxed{\theta=15^\circ}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μαρ 01, 2019 2:50 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το A

και παράλληλη προς την υποτείνουσα CB , θεωρούμε σημείο S , ώστε : CS=CB .

Υπολογίστε το τμήμα AS , συναρτήσει της πλευράς AB=a και της \tan\theta
Αν S',{A}' οι ορθές προβολές των S,A αντίστοιχα επί της BC , τότε SS'\mathop  = \limits^{SA\parallel BC} AA' = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{SC}}{2} \Rightarrow \angle SCB = {30^0} \Rightarrow \angle \theta  = {15^0}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 01, 2019 9:52 pm

συναρτήσει πλευράς κι εφαπτομένης.png
συναρτήσει πλευράς κι εφαπτομένης.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Ας είναι CB = CS = R \Rightarrow \boxed{R = a\sqrt 2 }. Γράφω το κύκλο (C,R) που τέμνει την BA στο D. Ας είναι δε M το σημείο τομής των SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD.

Η SM είναι μεσοκάθετη στο CD, οπότε SC = SD και άρα το \vartriangle CDS είναι ισόπλευρο . Αβίαστα τώρα προκύπτουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = 60^\circ  - 45^\circ  = 15^\circ  \hfill \\ 
  x = AS = SM - AM = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} - \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = a\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και αφού \boxed{\sqrt {\tan 15^\circ }  = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2}}

θα έχω : \boxed{x = a\sqrt {\tan \theta } }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μαρ 02, 2019 10:13 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το A

και παράλληλη προς την υποτείνουσα CB , θεωρούμε σημείο S , ώστε : CS=CB .

Υπολογίστε το τμήμα AS , συναρτήσει της πλευράς AB=a και της \tan\theta

Θεωρούμε τους ίσους κύκλους διαμέτρων \displaystyle CB,CS οπότε\displaystyle AL = NS = AN = x .

Με \displaystyle K μέσον της \displaystyle BCείναι \displaystyle AS \bot AK \Rightarrow SA εφαπτόμενη του \displaystyle \left( {K,KA} \right)άρα \displaystyle A{S^2} = SM \cdot 2SM \Rightarrow 2{x^2} = 2S{M^2} \Rightarrow x = SM

Έτσι, \displaystyle CS διχοτόμος της \displaystyle \angle NCM \Rightarrow \angle SCM = \angle MCB = \theta και \displaystyle 3\theta  = {45^0} \Rightarrow \boxed{\theta  = {{15}^0}}

Με Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle CNS \Rightarrow {\left( {a + x} \right)^2} + {x^2} = 2{a^2} \Rightarrow 2{x^2}\left( {x + a} \right) = x{a^2} \Rightarrow A{S^2} = a^2\tan \theta  \Rightarrow \boxed{AS = a\sqrt {\tan \theta } }
συναρτήσει πλευράς-εφαπτόμενης.png
συναρτήσει πλευράς-εφαπτόμενης.png (26.14 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης