Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 24, 2019 5:10 pm

Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.png
Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.png (6.31 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=4, AC=x και η διάμεσος AM=1. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες:

Α) ελαχιστοποιείται η γωνία \widehat A και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της.

Β) μεγιστοποιείται το (ABC) και να υπολογίσετε το μέγιστο εμβαδόν.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 744
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Φεβ 24, 2019 6:16 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 24, 2019 5:10 pm
Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.png
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=4, AC=x και η διάμεσος AM=1. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες:

Α) ελαχιστοποιείται η γωνία \widehat A και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της.

Β) μεγιστοποιείται το (ABC) και να υπολογίσετε το μέγιστο εμβαδόν.
A) Την ελάχιστη γωνία θα την πάρουμε εκεί που μεγιστοποιείται το συνημίτονό της.

Από θεώρημα διαμέσων και νόμο συνημιτόνων βρίσκουμε \dispalystyle \cos A=-\left \left ( \dfrac{3}{2x}+\dfrac{x}{8} \right ).

Όμως \displaystyle \frac{3}{2x}+\frac{x}{8} \geq 2\sqrt{\frac{3}{2x}\cdot\frac{x}{8} }=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow -\left ( \frac{3}{2x}+\frac{x}{8} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}

με την ισότητα μόνο όταν \displaystyle \cos A=\cos 150^{\circ}\Leftrightarrow A=150^{\circ}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4934
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Φεβ 24, 2019 6:57 pm

Για το (β)



24-02-2019 Γεωμετρία b.jpg
24-02-2019 Γεωμετρία b.jpg (28.23 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές
Προεκτείνω κατά ίσο τμήμα MD τη διάμεσο.

Τότε  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{\left( {ABDC} \right)}}{2} = \left( {ABD} \right) = \sqrt {\frac{{6 + x}}{2} \cdot \frac{{6 - x}}{2} \cdot \frac{{x - 2}}{2} \cdot \frac{{x + 2}}{2}}  = \frac{{\sqrt {\left( {36 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)} }}{4} , με  \displaystyle 2 < x < 6

Το εμβαδόν παίρνει τη μέγιστη τιμή, όταν και η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \left( {36 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - 4} \right),\;x \in \left( {2,6} \right) πάρει τη μέγιστη τιμή της.

Επειδή το άθροισμα των παραγόντων είναι σταθερό, το γινόμενο γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσοι (αν μπορεί να γίνουν ίσοι).

Οπότε  \displaystyle 36 - {x^2} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} = 40 \Leftrightarrow x = 2\sqrt{5}

edit:
Διόρθωσα το τελικό αποτέλεσμα με υπόδειξη του Γιώργου Βισβίκη.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 744
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Φεβ 24, 2019 8:53 pm

Εναλλακτικά το (Β).

Είναι \displaystyle E=\frac{1}{2} 4x \sin A=2x \sin A=2x\sqrt{1-\cos^2A}=2x\sqrt{1-\left ( \frac{3}{2x}+\frac{x}{8} \right )^2}.

Τότε \displaystyle E^2=...=-\frac{x^4}{16}+\frac{5x^2}{2}-9 και η τελευταία παράσταση μεγιστοποιείται για x=2\sqrt{5} που δίνει \dispalystyle E_{max}=4.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τρί Φεβ 26, 2019 9:17 am

Καλημέρα,

Βασίζομαι στο σχήμα του Γιώργου του Ρίζου και έστω c ο περίκυκλος του \triangle BAD.

α) \angle BAC+\angle DBA=180\Rightarrow min\left \{ \angle BAC \right \}\rightarrow max\left \{ \angle DBA \right \}
Επειδή η \angle DBA βαίνει σε σταθερού μήκους χορδή DA=2 μεγιστοποιείται όταν ο κύκλος ελαχιστοποιείται δηλ. όταν BA διάμετρος. Τότε: sin\left ( \angle DBA \right )=2/4=1/2\Rightarrow \angle DBA=30\Rightarrow \angle BAC=180-30-150 και
από Π.Θ. στο \triangle BAD\rightarrow x^{2}=4^{2}-2^{2}\Rightarrow x=2\sqrt{3}.

β) (ABC)=(ABD)\rightarrow max όταν BA,AD κάθετες. Τότε E_{max}=4*2/2=4 και x^{2}=4^{2}+2^{2}=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}

Δηλαδή έχουμε ελάχιστη γωνία όταν MA,AC κάθετες και μέγιστο εμβαδό όταν MA,BA κάθετες.
Συνημμένα
minangle_maxarea.png
minangle_maxarea.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 26, 2019 9:23 am

Ευχαριστώ τον Λάμπρο και τον Γιώργο για τις λύσεις τους. Ας δούμε το β) κάπως διαφορετικά.
Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.β.png
Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.β.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές
\displaystyle (ABC) = 2(ABM) = 4\sin \theta  \le 4 με τη μέγιστη τιμή να επιτυγχάνεται για \theta=90^\circ.

Στη συνέχεια εύκολα βρίσκουμε με Πυθαγόρειο την BC και με θεώρημα διαμέσων (ή αλλιώς) το x.


Τώρα μόλις είδα και τη λύση του Αλέξανδρου και απ' ό,τι βλέπω η αντιμετώπισή του στο β) είναι περίπου ίδια με τη δική μου.
Να ευχαριστήσω λοιπόν κι εκείνον για την ενασχόλησή του με το θέμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης