Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

#1

: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.png (6.31 KiB) Προβλήθηκε 1023 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι

και η διάμεσος AM=1.

Να βρείτε τις τιμές του

για τις οποίες:

Α) ελαχιστοποιείται η γωνία $\widehat A$ και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της.

Β) μεγιστοποιείται το (ABC)

και να υπολογίσετε το μέγιστο εμβαδόν.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 24, 2019 5:10 pm
Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.png
Στο τρίγωνο είναι και η διάμεσος Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες:

Α) ελαχιστοποιείται η γωνία $\widehat A$ και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της.

Β) μεγιστοποιείται το και να υπολογίσετε το μέγιστο εμβαδόν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Για το (β)

: 24-02-2019 Γεωμετρία b.jpg (28.23 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Προεκτείνω κατά ίσο τμήμα

τη διάμεσο.

Τότε $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{\left( {ABDC} \right)}}{2} = \left( {ABD} \right) = \sqrt {\frac{{6 + x}}{2} \cdot \frac{{6 - x}}{2} \cdot \frac{{x - 2}}{2} \cdot \frac{{x + 2}}{2}} = \frac{{\sqrt {\left( {36 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)} }}{4}$ , με $\displaystyle 2 < x < 6$

Το εμβαδόν παίρνει τη μέγιστη τιμή, όταν και η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \left( {36 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - 4} \right),\;x \in \left( {2,6} \right)$ πάρει τη μέγιστη τιμή της.

Επειδή το άθροισμα των παραγόντων είναι σταθερό, το γινόμενο γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσοι (αν μπορεί να γίνουν ίσοι).

Οπότε $\displaystyle 36 - {x^2} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} = 40 \Leftrightarrow x = 2\sqrt{5}$

edit: Διόρθωσα το τελικό αποτέλεσμα με υπόδειξη του Γιώργου Βισβίκη.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Εναλλακτικά το (Β).

Είναι $\displaystyle E=\frac{1}{2} 4x \sin A=2x \sin A=2x\sqrt{1-\cos^2A}=2x\sqrt{1-\left ( \frac{3}{2x}+\frac{x}{8} \right )^2}.$

Τότε $\displaystyle E^2=...=-\frac{x^4}{16}+\frac{5x^2}{2}-9$ και η τελευταία παράσταση μεγιστοποιείται για $x=2\sqrt{5}$ που δίνει $\dispalystyle E_{max}=4.$

Altrian · #5

Καλημέρα,

Βασίζομαι στο σχήμα του Γιώργου του Ρίζου και έστω

ο περίκυκλος του $\triangle BAD$ .

α) $\angle BAC+\angle DBA=180\Rightarrow min\left \{ \angle BAC \right \}\rightarrow max\left \{ \angle DBA \right \}$
Επειδή η $\angle DBA$ βαίνει σε σταθερού μήκους χορδή DA=2

μεγιστοποιείται όταν ο κύκλος ελαχιστοποιείται δηλ. όταν

διάμετρος. Τότε: $sin\left ( \angle DBA \right )=2/4=1/2\Rightarrow \angle DBA=30\Rightarrow \angle BAC=180-30-150$ και
από Π.Θ. στο $\triangle BAD\rightarrow x^{2}=4^{2}-2^{2}\Rightarrow x=2\sqrt{3}$ .

β) $(ABC)=(ABD)\rightarrow max$ όταν BA,AD

κάθετες. Τότε $E_{max}=4*2/2=4$ και $x^{2}=4^{2}+2^{2}=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}$

Δηλαδή έχουμε ελάχιστη γωνία όταν MA,AC

κάθετες και μέγιστο εμβαδό όταν MA,BA

κάθετες.

#6

Ευχαριστώ τον Λάμπρο και τον Γιώργο για τις λύσεις τους. Ας δούμε το β) κάπως διαφορετικά.

: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν.β.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

$\displaystyle (ABC) = 2(ABM) = 4\sin \theta \le 4$ με τη μέγιστη τιμή να επιτυγχάνεται για $\theta=90^\circ.$

Στη συνέχεια εύκολα βρίσκουμε με Πυθαγόρειο την

και με θεώρημα διαμέσων (ή αλλιώς) το

Τώρα μόλις είδα και τη λύση του Αλέξανδρου και απ' ό,τι βλέπω η αντιμετώπισή του στο β) είναι περίπου ίδια με τη δική μου.
Να ευχαριστήσω λοιπόν κι εκείνον για την ενασχόλησή του με το θέμα.

Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστη γωνία-μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση