Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

#1

: Γεωμ.τόπος ορθοκέντρου.png (10.91 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Η υποτείνουσα BC=a

ορθογωνίου τριγώνου ABC

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος ενώ η κορυφή

μεταβάλλεται. Αν

είναι το ύψος και M, N

τα μέσα των BD, DC,

να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ορθοκέντρου

του τριγώνου AMN.

Stelios V8 · #2

Ισχυριζόμαστε ότι $HD=\frac{AD}{4}$ . Πράγματι , αυτό προκύπτει αμέσως αν δούμε ότι

$\angle HMD=\angle DAN\Rightarrow tan\left ( \right \angle HMD)=tan\left ( \angle DAN \right )\Rightarrow\frac{HD}{MD}= \frac{DN}{DA}$

και λόγω των σχέσεων $MD=\frac{BD}{2} , ND=\frac{CD}{2} , BD\cdot CD=AD^{2}$ και έτσι επαληθεύεται ο ισχυρισμός .

Αν τώρα θεωρήσουμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή το μέσο της

, έστω

και πάρουμε $B(-r,0) , C(r,0) , A(k,l) , r> 0 , k^{2}+l^{2}=r^{2}$ τότε

$H(x,y) , x=k , y=\frac{l}{4}\Rightarrow x^{2}+\left (4y)^{2} \right =r^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{\left ( \frac{r}{4} \right )^{2}}=1$

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

καθώς το

κινείται στον κύκλο κέντρου

και ακτίνας

είναι έλλειψη με εστίες S_1=(-c,0) , S_2=(c,0)

Όπου $c=\sqrt{r^{2}-\left ( \frac{r}{4} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}r , r=OC=\frac{BC}{2}$ .

Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

Re: Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

Μέλη σε σύνδεση