Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8218
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 20, 2019 2:08 pm

Γεωμ.τόπος ορθοκέντρου.png
Γεωμ.τόπος ορθοκέντρου.png (10.91 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Η υποτείνουσα BC=a ορθογωνίου τριγώνου ABC είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος ενώ η κορυφή A μεταβάλλεται. Αν

AD είναι το ύψος και M, N τα μέσα των BD, DC, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ορθοκέντρου H του τριγώνου AMN.



Λέξεις Κλειδιά:
Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Κυρ Ιαν 20, 2019 5:54 pm

Ισχυριζόμαστε ότι HD=\frac{AD}{4} . Πράγματι , αυτό προκύπτει αμέσως αν δούμε ότι

\angle HMD=\angle DAN\Rightarrow tan\left (  \right \angle HMD)=tan\left ( \angle DAN \right )\Rightarrow\frac{HD}{MD}= \frac{DN}{DA}

και λόγω των σχέσεων MD=\frac{BD}{2} , ND=\frac{CD}{2} , BD\cdot CD=AD^{2} και έτσι επαληθεύεται ο ισχυρισμός .

Αν τώρα θεωρήσουμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή το μέσο της BC , έστω O(0,0) και πάρουμε B(-r,0) , C(r,0) , A(k,l) , r> 0 , k^{2}+l^{2}=r^{2} τότε

H(x,y) , x=k , y=\frac{l}{4}\Rightarrow x^{2}+\left  (4y)^{2} \right =r^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{\left ( \frac{r}{4} \right )^{2}}=1

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του σημείου H καθώς το A κινείται στον κύκλο κέντρου O και ακτίνας r είναι έλλειψη με εστίες S_1=(-c,0) , S_2=(c,0)

Όπου c=\sqrt{r^{2}-\left ( \frac{r}{4} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}r , r=OC=\frac{BC}{2} .
Συνημμένα
Σχήμα.ggb
(20.26 KiB) Μεταφορτώθηκε 21 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης