Μέγιστη γωνία

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (14.27 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Από σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου , το οποίο κινείται στην ευθείας x=4

, φέρουμε τα εφαπτόμενα

προς τον κύκλο x^2+y^2=4

, τμήματα

και ονομάζουμε

την τομή του

με τον

.

Βρείτε τη θέση του

για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{OSN}$ . Ει δυνατόν χωρίς παραγώγους !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 15, 2019 12:09 pm
Μέγιστη γωνία.pngΑπό σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , το οποίο κινείται στην ευθείας , φέρουμε τα εφαπτόμενα

προς τον κύκλο , τμήματα και ονομάζουμε την τομή του με τον .

Βρείτε τη θέση του για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{OSN}$ . Ει δυνατόν χωρίς παραγώγους !

Θέτω

άρα

: Μέγιστη γωνία.Κ.png (17.27 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Stewart στο PST

με τέμνουσα

: $\displaystyle P{S^2} - N{S^2} = PN \cdot NT \Leftrightarrow S{O^2} - 4 - {x^2} - {(d + 2)^2} = BN \cdot NC \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^2} + 16 - 4 - {x^2} - {d^2} - 4d - 4 = (4 - d)d \Leftrightarrow$ $\boxed{d=1}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{\tan \omega - \tan \varphi }}{{1 + \tan \omega \tan \varphi }} = \frac{{\frac{x}{3} - \frac{x}{4}}}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{12}}}} = \frac{x}{{{x^2} + 12}} \le \frac{x}{{2x\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}},$ για $\boxed{x=2\sqrt 3}$

#3

Η σταθερή ημιευθεία που κινείται το

έστω

Ας είναι

η τομή της

με τη διάμετρο AOB

(οριζόντιο άξονας).

Η πολική του

ως προς τον (O,2)

είναι ευθεία ${g_3}$ κάθετη στην

που διέρχεται από σταθερό σημείο

για το οποίο η τετράδα $(A,B\backslash N,K)$ είναι αρμονική.

$\dfrac{{BN}}{{BK}} = \dfrac{{AN}}{{AK}} \Rightarrow \dfrac{{BN}}{2} = \dfrac{{2 + BN}}{6} \Rightarrow \boxed{BN = 1}$ .

: Μέγιστη γωνία.png (31.57 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Η πολική του

θα διέρχεται από το μέσο

του

συνεπώς η πολική του

είναι η

που προφανώς ταυτίζεται με την

( χορδή των επαφών)

Για να γίνει τώρα μέγιστη η γωνία $\widehat \theta$ αρκεί το

να είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα σταθερά $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$

και εφάπτεται της

σε σημείο ${S_0}$ . Τότε προφανώς : ${(K{S_0})^2} = KN \cdot KO = 3 \cdot 4 \Rightarrow \boxed{K{S_0} = 2\sqrt 3 }$

Μέγιστη γωνία

Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση